事业单位编外人员司机是否可以被开除，需分情况讨论，具体如下：

1. 依据劳动合同约定开除
   若司机与事业单位签订了书面劳动合同，双方权利义务受《劳动合同法》约束。根据《劳动合同法》第三十九条，用人单位可解除劳动合同的情形包括：

   • 司机严重违反单位规章制度（如多次旷工、酒驾、私自用车等）；
     
   • 司机严重失职或营私舞弊，给单位造成重大损害（如因疏忽导致交通事故且负主要责任）；
     
   • 司机被依法追究刑事责任（如交通肇事罪、危险驾驶罪等）。
     若符合上述情形，事业单位可依法解除劳动合同，无需支付经济补偿。

2. 依据劳务派遣协议开除
   若司机属于劳务派遣人员（即与劳务公司签订合同，被派遣至事业单位工作），则开除主体为劳务公司。事业单位需将司机违规情况通知劳务公司，由劳务公司根据《劳动合同法》及派遣协议处理。
   若劳务公司合法解除合同，司机与事业单位的用工关系自动终止。

3. 违法解除的法律后果
   若事业单位无合法理由开除司机（如未提前通知、未支付经济补偿、未举证违规事实等），则构成违法解除。根据《劳动合同法》第四十八条，司机可要求：

   • 继续履行劳动合同；
     
   • 或要求单位支付赔偿金（标准为经济补偿金的2倍，即工作每满1年支付2个月工资）。

4. 程序性要求
   无论何种情形，事业单位均需履行法定程序：

   • 提前通知工会（若单位有工会）；
     
   • 向司机出具书面解除通知，并说明理由；
     
   • 办理工作交接、档案转移等手续。
     若程序违法，司机仍可主张权利。

建议：

• 对事业单位：开除编外人员需严格依据合同和法律，保留违规证据（如监控录像、书面警告记录等），避免程序瑕疵。
  
• 对司机：若认为被违法开除，可收集劳动合同、工资记录、解除通知等证据，向劳动仲裁委申请仲裁，主张继续履行合同或赔偿金。
  

如有具体案件细节（如开除理由、合同类型等），可进一步向我咨询，我会结合实际情况分析。