结论：虽然没有书面劳动合同，但可通过社保缴纳记录、工资支付记录、工作证等证据来证实存在连续的劳动关系，进而证明合同到期单位不给续签这一情况。以下是具体分析：

1. 社保缴纳记录：社保缴纳记录是证明劳动关系存在的重要证据之一。根据《社会保险法》规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。你已经连续缴纳了6年社保，社保缴纳记录可以清晰地显示你与单位之间存在长期的劳动关系。你可以向当地社保部门申请打印社保缴纳明细，这份明细上会明确记载你的缴费单位、缴费时间、缴费基数等信息，能够有力地证明你与该单位连续6年的劳动关系。
2. 工资支付记录：工资支付记录也是证明劳动关系的关键证据。如果单位是通过银行转账的方式支付工资，你可以打印银行流水，上面会显示每月固定的收入来源以及付款方（即单位名称）。如果是现金支付，你可以寻找同事的证人证言，或者收集单位发放工资时的签字记录等，这些都可以作为工资支付情况的证明，从而辅助证明你与单位之间存在连续的劳动关系。
3. 工作证、工作服等：工作证、工作服等物品是单位发放给员工用于识别身份和开展工作的，它们可以在一定程度上证明你与单位之间的劳动关系。例如，工作证上通常会印有单位名称、你的姓名、职位等信息，能够直观地表明你是该单位的员工。工作服也可以作为辅助证据，证明你为单位提供劳动。
4. 考勤记录：考勤记录可以反映你的工作时间和出勤情况，是证明劳动关系的重要依据。如果单位使用电子考勤系统，你可以尝试与单位协商获取自己的考勤记录；如果是纸质考勤表，你可以寻找同事的证人证言或者收集自己签字确认的考勤记录复印件等。
5. 其他相关证据：例如你与单位领导、同事之间的工作邮件、聊天记录等，这些内容可能涉及到工作安排、任务分配等，能够证明你实际为单位提供了劳动。另外，如果你在工作中获得过单位的奖励、表彰等，相关的证书、文件等也可以作为证明劳动关系的证据。

建议：在收集到上述证据后，你可以先与单位进行协商，要求单位续签劳动合同或者给予相应的经济补偿。如果协商不成，你可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。在仲裁过程中，要充分提供上述证据，以证明你与单位之间存在连续的劳动关系以及单位不续签合同的事实。