结论：若能证明存在劳动关系，单位将面临多项法律责任，包括支付未签劳动合同的双倍工资差额、补缴社会保险费用，以及可能的经济补偿等。

详细分析：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 应用情况：您已工作一年且未签劳动合同，因此，单位应支付您从第二个月起至第十二个月止，共十一个月的双倍工资差额（即原工资基础上再支付一倍）。

2. 补缴社会保险费用：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国社会保险法》的相关规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记，并按时足额缴纳社会保险费。
   • 应用情况：单位未为您缴纳社会保险，您有权要求单位补缴工作期间的社会保险费用，包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险。

3. 经济补偿：

   • 法律依据：虽然直接的经济补偿通常与劳动合同的解除或终止相关，但在此情况下，如果因单位未签劳动合同或未缴社会保险导致您提出解除劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，您可能有权获得经济补偿。
   • 应用情况：具体是否获得经济补偿及补偿金额，需根据您提出解除劳动合同的原因、工作年限、工资水平等因素综合判断。若因单位违法行为导致您解除合同，通常可获得一定月数的工资作为经济补偿。

4. 其他可能的法律责任：

   • 行政处罚：单位还可能面临劳动行政部门的处罚，如罚款、责令改正等。
   • 劳动仲裁或诉讼：若单位拒绝履行上述义务，您有权向劳动仲裁机构申请仲裁或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

建议行动：

• 收集证据：首先，您需要收集能够证明您与单位存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录、同事证言等。
• 与单位协商：在收集到足够证据后，您可以尝试与单位进行协商，要求单位支付双倍工资差额、补缴社会保险费用，并考虑是否要求经济补偿。
• 申请劳动仲裁：若协商无果，您可以向当地的劳动仲裁机构申请仲裁，提交相关证据和仲裁申请书，要求仲裁机构裁决单位履行相应义务。
• 提起诉讼：若对仲裁结果不满或单位拒绝履行仲裁裁决，您还可以向人民法院提起诉讼，通过司法程序维护自己的权益。

后续思考：

• 在整个过程中，保持冷静和理性至关重要。确保所有行动都在法律框架内进行，避免采取过激行为。
• 如有需要，您可以随时向我咨询具体的法律问题或寻求进一步的法律帮助。我会根据您的具体情况提供个性化的法律建议和支持。