教师因在学校外被行政拘留，教育局确实有权根据具体情况对该教师进行处理。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、法律依据与处理原则
《中华人民共和国教师法》的相关规定：
- 根据《中华人民共和国教师法》第三十七条，教师若存在故意不完成教育教学任务、体罚学生且经教育不改、品行不良或侮辱学生且影响恶劣等情形，可由所在学校、其他教育机构或者教育行政部门给予行政处分或者解聘。虽然该条款未直接提及行政拘留，但行政拘留作为对违法行为的处罚，反映了教师的品行或行为可能存在问题，这为教育局的处理提供了法律依据。
- 同时，根据《中华人民共和国教师法》第十四条，受到剥夺政治权利或者故意犯罪受到有期徒刑以上刑事处罚的，不能取得教师资格；已经取得教师资格的，丧失教师资格。行政拘留并不属于刑事处罚的范畴，因此从法律条文的角度来看，单纯的行政拘留并不会直接导致教师丧失教师资格。但教育局仍可根据教师的具体行为性质和严重程度，依据其他相关条款进行处理。
处理原则：
- 教育局在处理此类事件时，会遵循公正、公平、合法的原则，既要维护教育行业的形象和公信力，也要保障教师的合法权益。
二、教育局的具体处理措施
了解情况与调查核实：
- 教育局在得知教师被行政拘留后，会立即与公安部门联系，核实拘留原因、经过及处罚决定，并要求教师提交书面情况说明。
- 成立专门小组，全面调查事件本身及教师在校表现，收集证据，评估影响。
根据情节轻重给予处分：
- 轻微违法：若教师因一般违法但情节较轻被行政拘留，且未对教育教学工作造成重大负面影响，可能受到警告、记过、降低岗位等级等处分。同时，要求教师作出深刻检讨，并保证今后遵守法律法规。
- 严重违法：若教师因严重违反师德师风行为（如殴打学生、收受大额贿赂、参与违法活动等）被行政拘留，教育局将给予更严厉的处罚，如撤职甚至开除。
后续安排与培训教育：
- 对受处分教师进行岗位调整、培训教育，帮助其提高法律意识和职业道德水平。
三、可能产生的法律影响
工资待遇：
- 教师被行政拘留后，其工资待遇可能受到影响。具体处理方式因地区、单位而异，可能暂停发放工资，或发放部分工资/生活补助。
职业发展：
- 行政拘留记录将存入个人档案，对教师今后的职称评定、评优评先等职业发展产生负面影响，可能导致晋升机会减少。
社会声誉：
- 作为教育工作者，教师的行为具有示范作用。行政拘留事件可能损害其社会声誉，影响在学生、家长及社会公众心目中的形象。
四、特殊情况与考量
- 违法行为与教育教学工作的相关性：如果教师的违法行为与教育教学工作密切相关，如在校园外实施与教育相关的违法犯罪行为（如诈骗学生家长、参与有偿补课等），即使只是行政拘留，也可能被视为不适合继续从事教师工作，从而面临更严厉的处理。
- 社会舆论和公众期望：教师作为公职人员，其道德品质和行为规范受到社会的高度关注。受到行政拘留的教师可能会面临较大的社会压力，尤其是当其行为引起社会广泛关注并对教育行业产生恶劣影响时。
总结与建议：
教师因在学校外被行政拘留，教育局有权根据具体情况对该教师进行处理。处理措施可能包括警告、记过、降低岗位等级、撤职甚至开除等，具体取决于教师行为的性质和严重程度。同时，这一事件将对教师的工资待遇、职业发展和社会声誉产生深远影响。因此，我建议教师们应时刻遵守职业道德和法律法规，以维护自身的职业形象和声誉。如果您或您身边的人遇到此类问题，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律建议。