结论：在未签订劳动合同的私人单位工作期间被打伤，可通过以下途径处理：1. 及时报警并固定证据；2. 确认劳动关系并申请工伤认定；3. 通过民事诉讼主张人身损害赔偿；4. 结合具体情况选择最优维权路径。以下结合法律实务展开分析：

1. 及时报警并固定证据

无论是否签订劳动合同，暴力伤害行为本身已涉嫌违法。根据《治安管理处罚法》第43条，殴打他人或故意伤害他人身体的，可处5-10日拘留并罚款；若构成轻伤以上，则涉嫌《刑法》第234条故意伤害罪。
操作建议：

• 立即报警并要求公安机关出具《受案回执》，保留医疗记录、伤情照片、现场监控等证据；
  
• 若伤情较重（如骨折、颅脑损伤等），及时申请司法鉴定（如《人体损伤程度鉴定意见书》），为后续刑事或民事程序提供依据。

2. 确认劳动关系并申请工伤认定

即使未签订书面劳动合同，事实劳动关系仍受法律保护。根据《劳动合同法》第7条，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。
操作步骤：

• 收集劳动关系证据：工资支付记录（如转账记录）、工作证、考勤记录、同事证言、工作群聊天记录等；
  
• 申请工伤认定：向单位所在地社保部门提交《工伤认定申请表》及上述证据，若单位拒绝配合，可自行申请（根据《工伤保险条例》第17条，单位未在30日内申请的，劳动者可在1年内直接申请）；
  
• 工伤待遇主张：若被认定为工伤，可享受医疗费、停工留薪期工资、伤残补助金等待遇（具体标准按《工伤保险条例》执行）。

3. 通过民事诉讼主张人身损害赔偿

若工伤认定存在障碍（如单位否认劳动关系），或伤害行为超出工作范围（如因私人纠纷被打），可以人身损害赔偿为由起诉侵权人。
法律依据：

• 根据《民法典》第1179条，侵害他人造成人身损害的，应赔偿医疗费、护理费、交通费、误工费等合理费用；造成残疾的，还应赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；
  
• 若侵权人系单位员工且因执行工作任务造成损害，单位可能承担雇主责任（根据《民法典》第1191条）。
  操作建议：
  
• 明确被告主体（侵权人个人或单位）；
  
• 准备完整证据链（包括伤害事实、因果关系、损失金额等）；
  
• 诉讼时效为3年，自知道或应当知道权利受损之日起计算。

4. 结合具体情况选择最优维权路径

• 若伤害与工作直接相关（如因工作矛盾被同事打伤），优先申请工伤认定，同时可追究侵权人民事责任（工伤赔偿与民事赔偿可并行，但医疗费等实际支出部分不得重复获赔）；
  
• 若伤害与工作无关（如下班后被陌生人打伤），直接通过民事诉讼主张赔偿；
  
• 若单位未缴纳工伤保险，工伤待遇由单位承担（《工伤保险条例》第62条），若单位拒付，可申请劳动仲裁或强制执行。

提示：实务中，未签合同可能增加劳动关系认定难度，但通过工资流水、工作记录等证据仍可补证。建议优先固定伤害证据，再根据伤害性质选择工伤或民事途径维权。如有具体细节需进一步分析，可直接向我咨询。