针对您提出的“没有签劳动合同的员工私自外出受伤需要怎么处理”这一问题，我会从多个方面为您详细解答，以确保处理方式既合法合规，又体现人文关怀。

一、初步应对与情况了解

1. 及时沟通：首先，应尽快与该员工取得联系，了解其外出原因及受伤情况。在沟通过程中，保持平和与关心的态度，体现公司的人文关怀。

2. 评估影响：同时，评估该员工私自外出行为是否对工作造成了实质性影响，如工作任务是否延误、团队协作是否受阻等。这有助于后续处理时考虑情节的轻重。

二、法律与规章制度考量

1. 劳动合同缺失的影响：虽然未签订劳动合同，但根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，员工与公司之间仍存在事实劳动关系。因此，公司仍需承担一定的法律责任，同时也有权依据内部规章制度对员工行为进行管理。

2. 规章制度的应用：检查公司是否有关于员工外出的请假流程、审批权限及违规处罚措施的明确规定。若有，则依据规定处理；若无，则需根据公司实际情况和员工行为的具体后果进行灵活处理。

3. 受伤责任判定：对于员工私自外出受伤的情况，需判断其受伤是否与工作有关。若与工作无关，则公司一般不承担工伤责任；但若公司规章制度或管理存在疏忽，导致员工在非工作时间、非工作地点因公司相关事务受伤，公司可能需承担一定责任。

三、具体处理措施

1. 轻微情况处理：

   • 若员工私自外出情节较轻，且未造成工作延误或损失，可采取批评教育的方式，指出其不当之处，并强调遵守规章制度的重要性。
   • 若员工多次私自外出但情节仍较轻，可给予书面警告，并记录于个人档案，作为后续考核的依据。

2. 严重情况处理：

   • 若员工私自外出导致工作严重延误、失误或经济损失，公司可依据内部规定扣减其绩效奖金或采取其他相应的处罚措施。
   • 若员工行为严重违反公司规章制度，且给公司造成重大损失或不良影响，公司可考虑与其解除事实劳动关系，但需注意遵循相关法律法规，避免违法解除。

3. 受伤处理：

   • 对于员工受伤情况，公司应首先协助其进行医疗救治，并体现人文关怀。
   • 若受伤与工作无关，公司可引导员工通过医疗保险等途径解决医疗费用问题。
   • 若公司需承担一定责任，应与员工协商解决赔偿事宜，或通过法律途径解决争议。

四、沟通与引导

1. 加强纪律教育：通过培训、会议等方式加强员工对纪律的认识，明确遵守规章制度的重要性，防止类似事件再次发生。

2. 提供心理支持：了解员工私自外出的深层次原因，如工作压力、个人生活困扰等，必要时提供心理辅导或支持，帮助员工正确处理工作与生活的关系。

五、制度完善与预防措施

1. 完善规章制度：全面审查并完善公司规章制度，明确规定员工外出的请假流程、审批权限及违规处罚措施，确保有章可循。

2. 加强日常管理：通过考勤系统、工作汇报制度等加强日常监督和管理，及时掌握员工工作状态和行踪，减少私自外出等违规行为的发生。

综上所述，处理没有签劳动合同的员工私自外出受伤的情况需综合考量多方面因素。公司应确保处理方式既符合法律法规和内部规章制度，又能够体现人文关怀和企业管理智慧。同时，通过完善制度和加强管理预防类似事件的再次发生。