结论：在公路上压死狗后肇事逃逸，即使事故后协商完成了赔偿，驾驶员仍可能面临交通肇事逃逸的法律处罚。不过，具体是否处罚及处罚的轻重，会因实际情况的不同而有所差异。
详细分析：
从交通事故逃逸的法律责任角度：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十九条的规定，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，将受到二百元以上二千元以下罚款的处罚，并可并处十五日以下拘留。这一规定明确指出了交通事故逃逸的法律后果，不因事后是否协商赔偿而免除。
- 逃逸行为还可能导致驾驶员面临扣分、吊销驾驶证等进一步的行政处罚。这些处罚措施旨在维护道路交通秩序，保障交通安全。
从财产损害赔偿与法律责任的关系角度：
- 狗作为主人的个人财产，当其在公路上被压死时，造成了狗主人的财产损失。驾驶员需按狗的实际价值对狗主人进行赔偿，这是基于《中华人民共和国民法典》中关于侵害他人财产的规定。
- 然而，赔偿财产损失并不免除驾驶员因逃逸而应承担的法律责任。两者是独立的法律关系，赔偿是民事责任，而逃逸处罚是行政责任。
特殊情况的考量：
- 如果狗未拴绳且突然冲到马路上，导致司机在正常行驶中无法及时反应而压死狗，这种情况下狗主人因管理不善存在过错，司机的责任可能会相对减轻。但这并不意味着司机可以逃逸，逃逸行为仍然会受到法律的制裁。
- 即使司机认为自身责任较轻，选择逃逸也可能导致其责任认定变得更为复杂和不利。逃逸行为会加剧法律后果的不确定性，甚至可能引发更严重的法律纠纷。
法律建议：
- 如果不幸发生了这样的交通事故，驾驶员应立即停车，保护现场，并及时报警处理。这是法律规定的义务，也是减少后续法律纠纷和损失的关键步骤。
- 同时，驾驶员应尽可能与狗的主人进行协商，以达成赔偿协议。通过友好协商解决赔偿问题，可以避免不必要的法律诉讼和额外的费用支出。
- 驾驶员应认识到逃逸行为的严重性，不要因一时的逃避而承担更严重的法律后果。
后续行动建议：
- 如果驾驶员已经因逃逸行为受到了处罚，但认为处罚过重或存在争议，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼来维护自己的合法权益。
- 在日常生活中，驾驶员应增强法律意识，遵守交通规则，避免类似事故的发生。如果发生事故，应积极面对并妥善处理，不要选择逃逸。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。