交通部门对压死狗逃逸行为的处理方式主要依据相关法律法规，结合事故具体情况进行责任认定和处罚，具体如下：

1. 责任认定：

   • 根据《道路交通安全法》及相关实施条例，驾驶员在道路上行驶时，有义务确保行车安全，包括注意路面情况，避免对他人财物（包括宠物）造成损害。若驾驶员因疏忽大意或故意行为压死狗后逃逸，交通部门将根据现场勘查、监控录像、证人证言等证据，认定驾驶员是否构成交通肇事逃逸。
   • 若狗主人未对狗进行合理看管，如未拴绳或未在指定区域遛狗，导致狗突然闯入道路被压死，狗主人也可能需承担一定责任。但驾驶员逃逸行为本身是违法的，不受狗主人是否看管得当的影响。

2. 处罚措施：

   • 行政处罚：根据《道路交通安全法》第九十九条，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款，可以并处十五日以下拘留。因此，压死狗逃逸的驾驶员可能面临罚款和拘留的行政处罚。
   • 民事赔偿：驾驶员还需承担对狗主人的民事赔偿责任，包括狗的死亡损失、可能产生的医疗费用（如狗受伤后尝试救治）等。赔偿金额需根据狗的价值、市场价格及双方协商或法院判决确定。
   • 刑事责任：若逃逸行为导致严重后果，如狗主人因寻找狗而发生交通事故受伤或死亡，驾驶员可能因涉嫌交通肇事罪被追究刑事责任。但这种情况较为极端，需根据具体案情判断。

3. 处理流程：

   • 交通部门接到报案后，将立即展开调查，收集证据，包括现场勘查、调取监控录像、询问目击者等。
   • 根据调查结果，交通部门将出具事故责任认定书，明确驾驶员和狗主人的责任比例。
   • 驾驶员需根据责任认定书接受行政处罚，并与狗主人协商民事赔偿事宜。若协商不成，狗主人可向法院提起民事诉讼。

建议：

• 驾驶员在发生此类事故后，应立即停车查看情况，并报警等待交通部门处理。逃逸只会加重法律后果，不利于问题解决。
• 狗主人应加强对狗的看管，避免类似事故发生。同时，在发生事故后，也应保持冷静，通过合法途径维护自身权益。

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