肇事者将狗碾死后逃逸，可能涉及民事赔偿、行政处罚甚至刑事责任，具体处理方式需根据狗的价值、肇事者主观状态及行为后果综合判断。以下分情况详细说明：

一、若狗为普通宠物（价值较低，未达刑事立案标准）

1. 民事赔偿
   根据《民法典》第1245条，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或管理人需承担侵权责任；但若因被侵权人故意或重大过失造成损害的，可减轻责任。
   反向适用逻辑：若肇事者因过失碾压宠物狗后逃逸，狗主人可要求其赔偿狗的市场价值、医疗费（如有受伤抢救）、饲养成本等损失。需提供狗的购买凭证、血统证明、日常饲养支出记录等证据。
   若肇事者主张狗主人未牵绳等过错：需由肇事者举证狗主人存在过错（如未栓绳、未佩戴标识等），否则仍需全额赔偿。

2. 行政处罚
   根据《道路交通安全法》第99条，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，由公安机关交通管理部门处200-2000元罚款，可并处15日以下拘留。
   关键点：即使碾压的是宠物狗，若发生在道路上且肇事者明知发生事故仍逃逸，仍可能被认定为“交通事故逃逸”，面临行政处罚。

二、若狗为名贵犬种（价值较高，可能达刑事立案标准）

1. 故意毁坏财物罪
   根据《刑法》第275条，故意毁坏公私财物，数额较大（通常5000元以上）或有其他严重情节的，处3年以下有期徒刑、拘役或罚金。
   适用条件：需证明肇事者存在故意（如多次碾压、恶意驱赶等），若仅为过失碾压则不构成此罪。
   证据要求：需提供狗的价值评估报告（如品种鉴定、市场价格证明）、监控录像、证人证言等证明肇事者故意。

2. 交通肇事罪（特殊情形）
   若碾压行为导致狗主人因抢救狗而受伤（如追车时摔倒），且肇事者逃逸，可能构成《刑法》第133条交通肇事罪。
   关键点：需证明狗主人的损伤与肇事者行为存在直接因果关系，且肇事者逃逸行为加重了后果。

三、实务建议

1. 狗主人：

   • 立即报警并保留现场证据（如监控录像、照片、目击者联系方式）；
     
   • 联系宠物医院出具狗的价值评估或死亡证明；
     
   • 若肇事者逃逸，可向交警部门申请调取周边道路监控，或通过社交媒体发布寻人信息（需注意不侵犯他人隐私）。

2. 肇事者：

   • 若为过失碾压，应立即停车报警并联系狗主人协商赔偿，避免逃逸后被行政处罚；
     
   • 若怀疑狗主人存在过错（如未牵绳），可要求交警部门调查并作为抗辩理由，但不可因此逃逸。

提示：具体案件需结合证据和当地司法实践判断，若涉及复杂情况（如狗价值争议、肇事者身份不明等），可进一步向我提供细节，我会为您分析应对策略。