结论：57岁女性在工厂做清洁工九个月未签合同，可主张双倍工资差额赔偿，同时需关注是否已达退休年龄及社保缴纳情况，不同情形下赔偿方式和金额存在差异。以下是具体分析：

未达退休年龄情形

若该女性尚未达到法定退休年龄（目前女工人退休年龄一般为50周岁，但存在特殊情况，比如部分地区或行业可能有所不同，需结合实际情况判断），与工厂形成的是劳动关系。

• 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
• 赔偿计算：她已在工厂工作九个月，从第二个月起至第九个月，这八个月可主张双倍工资差额。假设她每月工资为3000元，那么工厂应额外支付的双倍工资差额为3000×8 = 24000元。
• 维权途径：她可以先与工厂协商，要求工厂支付双倍工资差额；若协商不成，可以向当地劳动监察部门投诉，由劳动监察部门责令工厂支付；也可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，通过仲裁裁决来维护自己的合法权益。

已达退休年龄情形

若该女性已经达到法定退休年龄，此时与工厂形成的是劳务关系，而非劳动关系。

• 法律依据：劳务关系不受《中华人民共和国劳动合同法》调整，不能依据该法主张双倍工资差额。不过，如果双方在劳务合同中有关于未签合同违约责任的约定，可按照约定要求工厂承担违约责任。
• 赔偿情况：若没有劳务合同或合同中没有相关约定，一般情况下难以直接主张类似双倍工资差额的赔偿。但如果工厂存在其他过错，比如拖欠劳务报酬等，她可以要求工厂支付拖欠的报酬，并可根据实际情况主张一定的赔偿，不过需要提供相应的证据证明工厂的过错以及自己因此遭受的损失。
• 维权途径：同样可以先与工厂协商解决；协商不成的话，可以直接向人民法院提起诉讼，通过诉讼途径来解决纠纷。

另外，无论是否达到退休年龄，工厂未签合同的行为都可能存在未依法为她缴纳社会保险的情况。如果未缴纳社保，她可以根据自身情况要求工厂补缴社保或者给予一定的经济补偿，具体补偿方式和金额需结合实际情况和当地政策来确定。如果遇到此类问题，你可以直接向我咨询，我会为你提供更详细的解答。