结论：邻居砍了您门口的绿化树，您不可以直接在网上提出诉讼，但可以通过网上立案的方式向法院提起诉讼，要求邻居承担相应的法律责任。以下是对此问题的详细分析：

一、关于网上诉讼的误解澄清

首先，需要明确的是，“网上提出诉讼”这一表述可能存在一定的误解。在法律程序中，我们通常说的是“网上立案”，即通过互联网平台向法院提交诉讼材料，申请立案。而真正的诉讼过程，包括开庭、审理、判决等，还是需要在法院进行。因此，您不能直接在网上完成整个诉讼过程，但可以通过网上立案的方式启动诉讼程序。

二、关于邻居砍树行为的法律性质

邻居砍了您门口的绿化树，这一行为可能构成侵权。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵害他人财产的，财产损失按照损失发生时的市场价格或者其他合理方式计算。如果这棵树是您所有或者您有合法的使用权，那么邻居的行为就侵害了您的财产权，您有权要求邻居承担赔偿责任。

三、关于如何提起诉讼

1. 收集证据：

   • 您需要收集能够证明邻居砍树行为的证据，如照片、视频、证人证言等。
   • 如果可能的话，还可以请相关部门（如物业、居委会等）出具证明，证明这棵树是您的或者您有合法的使用权。

2. 确定诉讼请求：

   • 您需要明确自己的诉讼请求，即要求邻居赔偿多少损失。这可以根据树的价值、砍树对您造成的影响等因素来确定。

3. 网上立案：

   • 您可以通过当地法院的官方网站或者移动微法院等平台进行网上立案。
   • 在立案时，您需要提交起诉状、证据材料等文件。起诉状应明确写明原告、被告的信息，诉讼请求，事实与理由等内容。

4. 参与诉讼过程：

   • 立案成功后，法院会安排开庭审理。您需要按照法院的通知参与诉讼过程，包括出庭、举证、质证等。
   • 在诉讼过程中，您可以委托律师代理诉讼，也可以自行参加诉讼。

四、关于可能的法律后果

如果法院认定邻居的行为构成侵权，那么邻居可能需要承担赔偿损失等法律责任。赔偿的金额将根据树的价值、砍树对您造成的影响等因素来确定。如果邻居拒绝履行判决，您还可以向法院申请强制执行。

五、建议与提醒

• 在提起诉讼前，您可以先尝试与邻居进行协商，看是否能够达成和解协议，避免不必要的法律纠纷。
• 如果协商无果，您可以考虑向物业、居委会等相关部门寻求帮助，看是否能够通过调解的方式解决问题。
• 如果调解也无果，那么您可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。

如果您在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。