当您发现邻居未经允许擅自砍伐您家的树木时，您完全有权利向当地派出所报案，派出所会依法对此事进行调查和处理。以下是对此问题的详细解答：
一、派出所的受理权限
派出所作为基层执法部门，负责维护社会治安，对于故意损毁公私财物的行为，包括未经允许砍伐他人树木，都有权进行受理和调查。根据案情的轻重，派出所会依法进行治安处罚或刑事立案处理。
二、法律分析
不构成犯罪的情况：
- 如果邻居的砍伐行为并未达到犯罪的程度，但确实损坏了您的财物，那么根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十九条，派出所可以对邻居进行治安处罚，包括拘留和罚款。
构成犯罪的情况：
- 如果邻居的砍伐行为情节严重，可能构成故意毁坏财物罪或盗伐林木罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，这些行为将受到更严厉的刑事处罚，包括有期徒刑、拘役或罚金等。
- 在这种情况下，派出所会将案件移交给刑警大队处理，以追究砍伐者的刑事责任。
三、报案及后续处理建议
立即报警：
- 一旦发现邻居砍伐您家的树木，应立即联系当地派出所报案，说明情况并提供相关证据。
收集证据：
- 在报警的同时，注意保留现场照片、被砍树木的残枝等关键证据。这些证据将有助于派出所进行调查和后续处理。
配合调查：
- 派出所在接到报案后，会派出民警进行现场勘查并询问相关当事人。请务必积极配合民警的调查工作，提供必要的信息和协助。
寻求调解或起诉：
- 如果砍伐行为不构成犯罪，但给您造成了财产损失，您可以在警方的调解下与邻居协商赔偿事宜。
- 如果调解不成或砍伐行为构成犯罪，您可以向人民法院提起诉讼，要求邻居承担相应的法律责任。在此过程中，您可以咨询专业律师以获取更具体的法律建议和代理服务。
综上所述，面对邻居擅自砍伐您家树木的情况，您应依法向派出所报案并配合后续处理。根据案情轻重，派出所将依法对砍伐者进行治安处罚或刑事立案处理。同时，您也可以积极寻求调解或诉讼途径来维护自己的合法权益。