结论：针对农村邻居砍伐您老家栽的树这一行为，您有权要求邻居承担相应的法律责任，具体责任形式及赔偿方式需根据树木的价值、砍伐行为的性质及后果等因素综合判断。以下是从不同角度进行的详细分析：
一、法律责任分析
民事侵权责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，邻居未经您同意砍伐您栽种的树木，构成对您财产权的侵害，应当承担民事侵权责任。
- 您有权要求邻居赔偿因砍伐树木所造成的直接经济损失，包括但不限于树木的价值、因砍伐导致的土地损害修复费用等。
行政责任（如适用）：
- 如果砍伐行为违反了当地关于林木保护、土地管理等方面的行政法规，邻居还可能面临行政处罚，如罚款、责令补种树木等。
- 但这一责任主要针对的是违反行政法规的行为，与您作为树木所有者的民事赔偿请求是独立的。
刑事责任（极端情况下）：
- 在极端情况下，如果砍伐行为构成故意毁坏财物罪，且数额较大或者有其他严重情节的，邻居还可能面临刑事责任。
- 但这种情况较为罕见，通常需要砍伐行为具有明显的恶意和较大的损害后果。
二、赔偿方式及计算
直接经济损失赔偿：
- 您有权要求邻居赔偿因砍伐树木所造成的直接经济损失，这通常包括树木的市场价值。
- 树木价值的评估可以依据当地的市场价格、树木的种类、年龄、生长状况等因素进行。
- 计算公式示例（假设树木价值为X元）：赔偿金额 = X元（树木价值） + 其他直接损失（如土地修复费用等）。
间接经济损失赔偿（如适用）：
- 如果砍伐行为还导致了您其他间接经济损失，如因树木缺失导致的生态效益损失、景观价值损失等，您也有权要求赔偿。
- 但这类损失的评估和赔偿通常较为复杂，可能需要专业的评估机构进行评估。
三、行动建议
收集证据：
- 首先，您需要收集能够证明树木属于您所有以及邻居砍伐树木的证据，如照片、视频、证人证言等。
- 这些证据将有助于您在后续的法律程序中维护自己的权益。
与邻居协商：
- 在收集到足够证据后，您可以尝试与邻居进行协商，要求其承担相应的法律责任并赔偿损失。
- 协商过程中，您可以明确表达自己的诉求和依据，争取达成一个双方都能接受的解决方案。
寻求法律援助：
- 如果协商无果，您可以考虑寻求法律援助，向当地的人民调解委员会申请调解或者向人民法院提起诉讼。
- 在法律程序中，您需要提交相关证据来支持自己的诉求，并接受法院的审理和判决。
关注行政处罚（如适用）：
- 如果砍伐行为违反了行政法规，您还可以向当地的林业、土地管理等部门举报，要求对邻居进行行政处罚。
- 这不仅可以维护您的合法权益，还可以对邻居的违法行为进行制裁和警示。
进一步思考：在处理此类纠纷时，除了考虑法律责任和赔偿方式外，还可以思考如何预防类似纠纷的再次发生。例如，通过加强与邻居的沟通、明确土地和树木的权属关系、设置警示标志等方式来减少误解和冲突的可能性。如果您在处理此类纠纷过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。