结论概述：合同到期三个月后公司提出续签，一般情况下，若员工同意续签，则不存在补偿问题；若员工不同意续签，且原合同到期时公司未提出续签或降低条件导致员工不续签的，员工可能享有经济补偿；但若合同到期后员工继续工作而公司未提出异议，则视为双方同意以原条件继续履行合同，此时公司提出续签，补偿问题需根据具体情况判断。
详细分析：
合同到期，双方同意续签：
- 若合同到期后，公司提出续签，且员工也同意续签，那么双方将签订新的劳动合同，继续履行劳动关系。在这种情况下，由于双方已经就续签达成一致，因此不存在补偿问题。
合同到期，员工不同意续签：
- 公司未提出续签或降低条件：根据《劳动合同法》的相关规定，如果合同到期时，公司未提出续签或者提出的续签条件低于原合同，导致员工不愿意续签的，员工有权要求公司支付经济补偿。经济补偿的计算通常依据员工在公司的工作年限和月工资标准来确定。
- 计算公式：经济补偿 = 工作年限 × 月工资（月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。
- 但需注意时效：然而，这一补偿请求通常需要在合同到期时或之后的一定时间内提出。合同到期三个月后，如果员工之前未提出补偿请求，且已经以实际行动（如继续工作）表明接受了公司未提出续签或降低条件的事实，那么此时再提出补偿请求可能会面临法律上的障碍。
合同到期后，员工继续工作，公司未提出异议：
- 根据相关法律规定及实践，如果合同到期后，员工继续在公司工作，而公司未提出异议，那么这通常被视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。在这种情况下，如果公司之后提出续签，且员工同意，那么同样不存在补偿问题。
- 特殊情况：但如果公司在此期间存在违法行为（如未按时支付工资、未提供劳动条件等），员工有权要求公司支付相应的赔偿或补偿，但这与合同到期续签的补偿是两个不同的概念。
建议与行动指南：
- 对于员工：如果合同到期后公司提出续签，而您对续签条件有疑问或不满，建议及时与公司沟通并明确自己的权益。如果公司存在违法行为或未按照法律规定支付经济补偿，您可以考虑通过法律途径维护自己的权益。
- 对于公司：在合同到期前，公司应提前与员工沟通续签事宜，并明确续签条件。如果员工不同意续签，公司应按照法律规定支付经济补偿（如果适用）。同时，公司也应确保在合同到期后员工继续工作的情况下，及时与员工签订新的劳动合同或明确双方的权利义务关系。
后续思考：在实际操作中，合同到期续签及补偿问题可能涉及多种复杂情况，如员工是否同意续签、公司是否提出合理条件、双方是否存在过错等。因此，在处理这类问题时，建议双方充分沟通并咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到妥善维护。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。