结论前置：第三次劳动合同到期后，是否享有补偿需根据具体情况判断。若用人单位不续签且劳动者符合签订无固定期限劳动合同条件，则用人单位需支付二倍经济补偿金；若劳动者主动不续签且用人单位无过错，则无需补偿；但若用人单位降低待遇导致劳动者不续签，则需支付经济补偿。
详细分析
一、用人单位不续签的情况
经济补偿：
- 根据《劳动合同法》第四十六条和第四十七条，若用人单位在第三次劳动合同到期后不续签，且劳动者不符合签订无固定期限劳动合同的条件（但此情况较为少见，因为通常连续订立两次固定期限劳动合同后，劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同），用人单位应按劳动者在本单位工作的年限支付经济补偿。经济补偿的计算标准为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 示例：若劳动者在用人单位工作了5年，月平均工资为8000元，则经济补偿为5×8000=40000元。
无固定期限合同相关：
- 若劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年或已连续订立二次固定期限合同等），而用人单位拒绝续签，则构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位需按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
- 示例：接上例，若用人单位违法终止劳动合同，则需支付赔偿金为40000×2=80000元。
二、劳动者不续签的情况
用人单位无过错：
- 若用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者选择不续签，则根据《劳动合同法》第四十六条，用人单位无需支付经济补偿。
用人单位有过错：
- 若用人单位存在未依法为劳动者缴纳社会保险费、未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件、未及时足额支付劳动报酬等法定过错情形，导致劳动者不续签，则用人单位仍需支付经济补偿。经济补偿的计算标准同上。
三、特殊情况及法律维权途径
特殊情况：
- 如劳动者在第三次合同期内发生工伤、职业病等特殊情况，这些可能影响赔偿数额和方式，需根据具体法律法规进行判定。例如，若劳动者因工伤导致劳动能力下降，用人单位在续签合同时应考虑调整工作岗位或提供其他合理便利。
法律维权途径：
- 协商解决：首先尝试与用人单位友好协商，明确诉求和法律依据，争取达成续签协议或补偿方案。
- 申请劳动仲裁：协商无果后，劳动者可在一年内向劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并准备好相关证据材料，如劳动合同、工资单、工作证明等。
- 提起诉讼：对仲裁结果不服的，劳动者可在收到裁决书后十五日内向人民法院提起诉讼，由法院依法审理并判决。
总结
第三次劳动合同到期后，补偿的支付取决于具体情形。用人单位若不续签且劳动者符合无固定期限合同条件，则需支付高额赔偿金；若劳动者因用人单位降低待遇而不续签，用人单位同样需支付经济补偿。反之，若劳动者主动不续签且用人单位无过错，则无需支付任何补偿。因此，在处理此类问题时，应仔细审查双方的具体情况和合同约定，以确保合法权益得到妥善保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。