第三次劳动合同到期后，是否享有补偿需根据具体情况判断。以下是从不同角度为您详细分析的情况：
一、用人单位不续签的情况
若劳动者符合签订无固定期限劳动合同条件：
- 根据《劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等情形的，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 若用人单位在此情况下选择不续签，则构成违法终止劳动合同。根据《劳动合同法》第四十七条和第八十七条，用人单位需按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿金，并且还需按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
- 示例：若劳动者在用人单位工作了5年，月平均工资为8000元，则经济补偿为5×8000=40000元，违法终止的赔偿金为40000×2=80000元。
若劳动者不符合签订无固定期限劳动合同条件或主动提出订立固定期限劳动合同：
- 用人单位不续签时，只需按照《劳动合同法》第四十七条的规定支付经济补偿金，无需支付赔偿金。
二、劳动者不续签的情况
劳动者主动拒绝续签且用人单位无过错：
- 若劳动者主动拒绝续签劳动合同，且用人单位不存在未依法缴纳社会保险费等法定过错情形，则用人单位无需支付经济补偿。
因用人单位降低待遇导致劳动者不续签：
- 若续签时用人单位降低了原劳动合同约定的条件（如降低工资、减少福利待遇等），导致劳动者不同意续签，根据《劳动合同法》第四十六条，用人单位应当支付经济补偿，标准同上，即按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
三、特殊情况说明
- 劳动者存在过错：若劳动者存在《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位的规章制度、不能胜任工作等），用人单位有权不续签劳动合同，并且无需支付经济补偿金或赔偿金。
四、实际操作建议
- 保留证据：劳动者应保留好与用人单位签订的劳动合同、工资单、考勤记录等证据，以便在发生争议时维护自己的合法权益。
- 协商解决：在劳动合同到期前，劳动者可以与用人单位进行协商，就续签劳动合同的事宜达成一致意见。
- 申请仲裁或诉讼：如果用人单位拒绝续签劳动合同并拒绝支付赔偿金或经济补偿，劳动者可以向当地劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
综上所述，第三次劳动合同到期后，补偿的支付取决于具体情形。若您面临此类问题，建议根据自身情况对照上述分析，并咨询专业律师（即我本人，朱莉华律师，专注于劳动纠纷等领域）以获取更具体的法律建议。