1. 核心结论：员工没有签劳动合同但在工厂受伤，不需要补签劳动合同来申请工伤认定和获得赔偿，但需要证明与工厂存在事实劳动关系。

2. 事实劳动关系的证明：

   • 证据收集：为了证明与工厂的事实劳动关系，应尽可能收集以下证据：工资支付凭证或记录（如银行转账记录、工资条）、工作证、服务证等能显示单位名称的证件、考勤记录（纸质或电子）、其他劳动者的证言（最好与其他证据相互印证）、业务相关材料（如工作文件、客户订单等）。
   • 重要性：这些证据是申请工伤认定和后续赔偿的关键，因为它们能证明你与工厂之间存在实际的劳动关系，即使没有书面合同。

3. 工伤认定流程：

   • 申请时间：用人单位应在事故伤害发生之日或被诊断为职业病之日起30日内提出工伤认定申请。若用人单位未按时申请，员工或其近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日或被诊断为职业病之日起1年内直接向社会保险行政部门提出申请。
   • 申请材料：包括工伤认定申请表、证明劳动关系的材料（即上述收集的证据）、医疗诊断证明或职业病诊断证明书。

4. 劳动能力鉴定与赔偿：

   • 劳动能力鉴定：在工伤得到认定且伤情相对稳定后，若存在残疾或影响劳动能力，应向市级劳动能力鉴定委员会申请劳动能力鉴定。鉴定结果将作为确定工伤待遇的重要依据。
   • 赔偿项目：根据工伤认定和劳动能力鉴定结果，可以与工厂协商赔偿事宜。赔偿项目可能包括医疗费、停工留薪期工资、伤残津贴、一次性伤残补助金等。
   • 协商与仲裁：若协商不成，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交仲裁申请书、身份证明、劳动关系证明、工伤认定决定书等相关材料。对仲裁结果不服时，可在规定期限内向人民法院提起诉讼。

5. 特别提示：

   • 工伤保险待遇：即使未签订劳动合同，只要证明了事实劳动关系，就有权享受工伤保险待遇。
   • 工厂责任：若工厂未为员工购买工伤保险，所有费用应由工厂自行承担。
   • 寻求帮助：在整个过程中，遇到困难或争议时，可直接向我咨询，我会提供专业的法律帮助。

总结：员工没有签劳动合同但在工厂受伤，不需要补签劳动合同，但需要积极收集证据证明事实劳动关系，并按照法律规定的程序申请工伤认定、进行劳动能力鉴定，最后根据鉴定结果要求工厂赔偿。在整个过程中，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可直接向我咨询。