当您的事业聘用合同到期而单位未与您续签时，您可以按照以下步骤来处理这一问题，确保您的权益得到妥善保障：
一、了解法律依据
首先，您需要明确的是，根据《中华人民共和国劳动合同法》以及《事业单位人事管理条例》的相关规定，劳动合同期满是可以终止的。但同时，这些法律也规定了合同终止时的相关权益和义务，包括经济补偿、工作交接等。
二、处理流程
确认单位是否已通知：
- 事业单位应在合同期满前一定时间内（通常是30日）书面通知您是否续签合同。如果单位未提前通知，您可以主动询问单位的人事部门或相关负责人，了解合同续签的情况。
办理工作交接：
- 如果合同确实到期且不再续签，您应按照单位的要求办理工作交接手续。这包括归还办公用品、资料、钥匙等，确保工作的连续性和稳定性。同时，您可以要求单位出具工作交接清单，作为交接完成的证明。
争取经济补偿：
- 根据《劳动合同法》的规定，除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同而您不同意续订，否则用人单位终止固定期限劳动合同的，应向您支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式通常是：按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
要求出具证明：
- 用人单位应在解除或终止劳动合同时出具相关证明，如离职证明、工作经历证明等。这些证明对于您未来的求职或办理相关手续非常重要。
- 同时，单位还应在十五日内为您办理档案和社会保险关系转移手续。
争议解决：
- 如果您与单位在合同到期不续签的问题上产生争议，首先应尝试通过协商解决。
- 如果协商不成，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
三、特殊情形处理
无固定期限劳动合同：
- 如果您在事业单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，或者连续订立二次固定期限劳动合同且没有法定不续签情形的，您有权提出续订无固定期限劳动合同。如果单位拒绝，您可以依法维护自己的权益。
孕期、产期、哺乳期女职工：
- 如果您处于孕期、产期或哺乳期，即使合同期满，单位也不得随意解除劳动合同。合同应顺延至相应情形消失时终止。
四、注意事项
保留证据：
- 在整个处理过程中，您应保留好相关证据，如通知书、交接清单、工资条、离职证明等。这些证据在发生争议时将起到关键作用。
沟通协商：
- 尽量与单位保持积极沟通，通过协商解决问题。这不仅可以减少不必要的法律纠纷，还可以维护您与单位之间的良好关系。
综上所述，当您的事业聘用合同到期而单位未与您续签时，您应了解相关法律依据，按照处理流程逐步操作，并注意特殊情形的处理和证据的保留。如有需要，您可以寻求法律援助或咨询专业律师以维护自己的权益。