针对您提出的美容院不开发票和不签合同的问题，核心结论是：美容院的行为涉嫌违法，您有权要求其补开发票、补签合同，并可通过投诉或法律途径维护自身权益。以下是具体分析和建议：

1. 关于不开发票的问题

• 法律依据：根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务或从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项时，必须向付款方开具发票。美容院拒绝开发票的行为已涉嫌违法。
• 您的权利：
  1. 要求补开发票：可直接向美容院提出补开要求，若对方拒绝，可明确告知其违法后果（如面临税务机关处罚）。
  2. 投诉举报：向当地税务机关（如税务局稽查局）举报，提供消费凭证（如付款记录、会员卡等），税务机关将依法调查并责令整改。
  3. 维权依据：若因未开发票导致无法报销或维权，发票是证明消费关系的关键证据，缺失可能影响后续纠纷处理。

2. 关于不签合同的问题

• 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第四百六十九条，当事人订立合同可采用书面、口头或其他形式。但涉及预付卡、长期服务等消费场景时，书面合同能更好明确双方权利义务（如服务内容、期限、退费规则等）。
• 您的权利：
  1. 要求补签合同：若美容院未主动提供合同，可要求其出具书面协议，明确服务条款。若对方拒绝，需警惕其可能存在“霸王条款”或逃避责任的风险。
  2. 留存证据：若无法补签合同，务必保存好付款记录、宣传资料、沟通记录等，作为证明消费关系的辅助证据。
  3. 投诉或诉讼：若因未签合同导致权益受损（如服务缩水、突然停业等），可向消费者协会投诉或直接起诉，要求赔偿损失。

3. 综合建议

• 先协商后投诉：优先与美容院沟通，明确要求补开发票和合同，并保留沟通记录（如微信、录音）。
• 多渠道维权：若协商无果，可同时向税务机关（投诉发票问题）和市场监管部门（投诉合同问题）举报，形成监管压力。
• 警惕预付卡风险：若涉及充值卡、会员卡等预付消费，需特别注意合同条款（如退费规则、有效期），避免因美容院违约导致资金损失。

总结：美容院不开发票和不签合同的行为均涉嫌违法，您有权通过合法途径要求其整改。若遇到纠纷，建议优先保留证据并协商解决，必要时寻求法律帮助。如有进一步问题，可直接向我咨询具体操作细节。