当您在没有签订劳动合同的工厂被开除时，确实会面临一些法律上的挑战，但您仍然有权维护自己的合法权益。以下是一些详细的步骤和建议，希望能帮助到您：
一、明确法律依据
首先，您需要了解相关的法律规定。根据《中华人民共和国劳动合同法》：
- 第十条：建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。如果已经建立了劳动关系但尚未签订书面合同的，应当自用工之日起一个月内补签。
- 第八十二条：如果用人单位超过一个月但不满一年未与劳动者签订书面劳动合同，那么用人单位需要每月支付劳动者二倍的工资。
- 第四十七条至四十八条：如果用人单位违法解除或终止劳动合同，那么应当按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿是按照劳动者在本单位工作的年限来计算的，每满一年支付一个月工资。
二、收集证据材料
为了证明您与工厂之间存在劳动关系，您需要收集一些关键的证据材料，包括但不限于：
- 工资支付记录：如银行流水、现金签收单等，这些可以证明您从工厂获得了工资。
- 考勤记录：如打卡记录、排班表、同事的证言等，这些可以证明您在工厂的工作时间和出勤情况。
- 工作相关凭证：如工牌、工装的照片，工作群的聊天记录等，这些可以证明您在工厂的工作身份和工作内容。
- 其他辅助材料：如入职登记表、培训资料、客户沟通记录等，这些也可以作为证明您与工厂存在劳动关系的辅助证据。
三、采取维权措施
在收集了足够的证据后，您可以采取以下维权措施：
与雇主协商：
- 您可以主动与工厂的负责人进行沟通，要求他们说明开除您的原因，并出示书面的开除通知。
- 如果涉及经济赔偿的问题，您可以依据法律规定提出合理的诉求，如要求支付未签订劳动合同的双倍工资、违法解除劳动合同的赔偿金等。
申请劳动仲裁：
- 如果与雇主的协商没有达成一致，您可以在争议发生之日起一年内向当地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请书及相关证据。
- 仲裁委员会将组织调解或开庭审理，并根据事实和法律规定作出裁决。
- 如果您对裁决结果不服，可以在十五日内向法院提起诉讼。
法律诉讼途径：
- 如果仲裁结果未能满足您的诉求，您可以向基层人民法院提起诉讼。
- 在提起诉讼前，您需要准备起诉状、证据清单等材料，并按照法院的要求进行提交。
- 法院将根据事实和法律规定进行审理，并作出判决。
四、注意事项
在维权过程中，您还需要注意以下几点：
- 保留原始证据：所有收集到的证据材料都需要保存原件，复印件需要注明“与原件一致”并签字确认。
- 及时行动：劳动仲裁的时效为一年，逾期可能会丧失胜诉权。因此，您需要在发现权益受到侵害后及时采取行动。
- 寻求专业帮助：如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，建议咨询劳动法律师或法律援助机构获取专业的指导和帮助。
希望以上建议能对您有所帮助。在维权过程中，请保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。