结论：双方私了后能否撤案以及如何撤案，需根据案件性质（民事纠纷、刑事案件、行政案件）及所处阶段（立案前、立案后、诉讼中、执行阶段）综合判断，不同情形下操作方式不同。以下是具体分析：

一、案件性质决定撤案可能性

1. 民事纠纷
   若案件属于民事范畴（如合同纠纷、侵权赔偿等），双方私了后可通过签订书面和解协议并履行完毕的方式终结争议。此时无需“撤案”，但需注意：

   • 若已向法院起诉，可向法院提交《撤诉申请书》（需原告签字），法院审查后若符合条件会裁定准许撤诉；
     
   • 若已进入执行阶段，可向法院提交《执行终结申请书》，附上和解协议及履行凭证，申请终结执行程序。

2. 刑事案件

   • 自诉案件（如侮辱罪、虐待罪等）：若双方达成和解，自诉人可向法院提交《撤诉申请书》，法院审查后若认为和解真实自愿且不损害公共利益，会裁定准许撤诉；
     
   • 公诉案件（如盗窃、故意伤害等）：即使双方私了，刑事责任也无法通过私了“撤案”。因公诉案件由国家追诉，需经公安机关立案侦查、检察院审查起诉、法院审判等法定程序。但私了可作为量刑情节（如取得被害人谅解），在判决时可能从轻或减轻处罚。

3. 行政案件
   若案件涉及行政处罚（如交通违章、治安处罚等），双方私了无法直接“撤案”。但若行政相对人与行政机关达成和解（如缴纳罚款后不再追究），需通过行政机关的内部程序（如撤销处罚决定）终结案件，具体需咨询行政机关。

二、案件所处阶段影响操作方式

1. 立案前
   若纠纷尚未进入司法程序（如未报警、未起诉），双方私了后无需任何撤案手续，争议已通过和解解决。

2. 立案后（刑事/行政）

   • 刑事案件：需区分自诉与公诉。自诉案件可撤诉，公诉案件需等待司法程序推进，但私了可影响量刑；
     
   • 行政案件：需通过行政机关撤销处罚决定，无法直接“撤案”。

3. 诉讼中（民事）
   原告可向法院提交撤诉申请，法院审查后裁定是否准许。需注意：撤诉后若再次起诉，需符合法定条件（如未超过诉讼时效、无重复起诉情形）。

4. 执行阶段（民事/行政）
   双方可签订执行和解协议，约定履行方式及期限。若被执行人按协议履行完毕，可向法院申请终结执行程序；若未履行，申请人可申请恢复执行。

三、关键风险提示

1. 书面协议的重要性：无论何种案件，私了时务必签订书面和解协议，明确双方权利义务、履行方式及违约责任，避免口头协议引发后续纠纷。
   
2. 刑事案件的特殊性：公诉案件中，即使被害人出具谅解书，犯罪嫌疑人仍可能面临刑事处罚，仅量刑可能减轻。
   
3. 行政案件的合规性：行政处罚的撤销需符合法定条件（如证据不足、程序违法），行政机关不得因私了随意撤销处罚，否则可能涉嫌违法。

建议：若涉及复杂案件（如刑事公诉、重大民事纠纷），建议私了前咨询律师，确保和解协议合法有效，并明确后续撤案或终结程序的具体操作方式。如有疑问，可直接向我提问，我会结合案件细节为您进一步分析。