结论：劳动仲裁裁决后双方私下签订了协议，若一方不履行，另一方是可以考虑起诉的，但具体能否起诉以及如何起诉，需根据协议的性质、内容以及相关法律法规来确定。以下是对此问题的详细分析：

一、协议性质与内容的影响

1. 协议作为新合同：如果双方在劳动仲裁裁决后签订的协议，是对原仲裁裁决内容的变更或补充，且该协议具有明确的权利义务条款，那么该协议在法律上可视为一个新的合同。若一方不履行该协议，另一方可以依据该协议向人民法院提起诉讼，要求对方履行协议或承担违约责任。

2. 协议作为执行和解：如果双方签订的协议是为了执行原仲裁裁决而达成的和解协议，且该协议已经得到了仲裁机构的认可或备案，那么该协议同样具有法律效力。若一方不履行，另一方可以依据该协议向人民法院申请强制执行，或者提起诉讼要求对方履行。

二、起诉的法律依据与条件

1. 法律依据：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》及相关法律法规，劳动争议双方在仲裁裁决后签订的协议，只要不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，就是合法有效的。一方不履行合法有效的协议，另一方有权向人民法院提起诉讼。

2. 起诉条件：

   • 协议必须合法有效，即双方自愿签订，内容合法，不违反法律、行政法规的强制性规定。
   • 起诉方必须能够证明对方未履行协议义务，这通常需要提供协议文本、履行情况证明等证据材料。
   • 起诉必须在法定的诉讼时效期间内提出，通常为知道或应当知道权利被侵害之日起三年内。

三、起诉的注意事项

1. 确定诉讼策略：在起诉前，应仔细分析协议内容，确定诉讼策略。如果协议中有明确的违约责任条款，可以要求对方承担违约责任；如果协议主要是为了执行原仲裁裁决，可以要求对方履行协议或申请强制执行原仲裁裁决。

2. 准备证据材料：在起诉时，应准备好相关证据材料，包括协议文本、履行情况证明、对方未履行协议的证据等。这些证据材料将有助于证明你的主张，提高胜诉的可能性。

3. 注意诉讼时效：务必在法定的诉讼时效期间内提起诉讼，否则可能会丧失起诉权利。如果不知道具体的诉讼时效期间，可以咨询专业律师或查阅相关法律法规。

四、特殊情况的处理

如果双方签订的协议存在欺诈、胁迫、显失公平等情形，导致协议无效或可撤销，那么一方不履行该协议时，另一方不能直接依据该协议提起诉讼。在这种情况下，应先通过法律程序确认协议的效力，再根据确认结果决定是否起诉以及如何起诉。

建议：在劳动仲裁裁决后签订协议时，务必确保协议内容合法、明确、具体，并尽量得到仲裁机构的认可或备案。如果一方不履行协议，应及时咨询专业律师，了解具体的法律程序和诉讼策略，以维护自己的合法权益。有问题可以直接向我咨询。