结论：在厂里上班断了一个指头，离职时是否可以起诉，这主要取决于是否已经完成了工伤认定和相关的赔偿协商或处理流程。如果尚未处理完毕，离职时仍然可以就工伤赔偿问题提起诉讼或申请劳动仲裁。

详细分析：

1. 工伤认定：

   • 首先，您需要确认是否已经完成了工伤认定。根据《工伤保险条例》的规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。断指显然属于因工作原因受到的事故伤害，因此应被认定为工伤。
   • 如果尚未进行工伤认定，建议您尽快向当地的社会保险行政部门提出工伤认定申请，这是后续维权的基础。

2. 工伤赔偿协商与处理：

   • 在完成工伤认定后，您可以与用人单位就工伤赔偿问题进行协商。如果协商达成一致，双方可以签订赔偿协议，并按照协议履行。
   • 如果协商不成，或者用人单位拒绝赔偿，您可以考虑通过法律途径解决。这包括向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，或者向人民法院提起诉讼。

3. 离职时的法律权益：

   • 即使您选择离职，这并不影响您就工伤赔偿问题提起诉讼或申请劳动仲裁的权利。工伤赔偿是基于您因工作原因受到的伤害，与您是否在职无关。
   • 在离职时，您可以与用人单位就工伤赔偿问题进行最后的协商。如果协商无果，您可以在离职后继续通过法律途径维护自己的权益。

4. 可能的法律后果：

   • 如果您选择提起诉讼或申请劳动仲裁，并最终获得胜诉，用人单位将需要按照判决或裁决的结果向您支付工伤赔偿金。
   • 如果用人单位拒绝履行判决或裁决，您可以向人民法院申请强制执行，以维护自己的合法权益。

建议：

• 在处理工伤赔偿问题时，建议您保留好所有相关的证据材料，如工伤认定决定书、医疗费用发票、工资单等，以便在后续的法律程序中证明自己的权益。
• 如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以考虑咨询专业的劳动法律师，以获得更具体的法律建议和帮助。

最后，如果您在处理工伤赔偿问题过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。