结论：员工医疗期休完继续休病假，公司开除员工是否需要赔偿，需根据具体情况判断。若公司违法解除劳动合同，则需要赔偿；若公司解除劳动合同合法，则可能无需赔偿。

分析：

1. 医疗期与病假的关系：

   • 医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。医疗期结束后，如果员工仍需要继续休病假，这通常意味着员工的病情尚未恢复，需要进一步的医疗和休息。

2. 公司解除劳动合同的合法性：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司解除劳动合同必须基于合法理由，如员工严重违反公司规章制度、不能胜任工作等，并且需要遵循法定程序。
   • 如果员工医疗期结束后，因病情严重无法继续工作，且不属于可以解除劳动合同的法定情形（如严重违反规章制度等），公司单方面解除劳动合同可能构成违法解除。

3. 赔偿问题：

   • 违法解除的情况：如果公司违法解除劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，员工有权要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍，经济补偿金根据员工在公司的工作年限和月工资计算。
   • 合法解除的情况：如果公司解除劳动合同是基于合法理由，并且遵循了法定程序，那么公司可能无需支付赔偿金。但这种情况下，公司通常需要提前通知员工，并支付相应的经济补偿金（如果符合支付条件）。

4. 特殊情况：

   • 如果员工在医疗期结束后，因病情严重被鉴定为完全丧失劳动能力，那么根据相关规定，公司可能需要支付一次性伤残补助金等费用，而不是简单的赔偿金。
   • 另外，如果员工与公司之间有特别的约定（如医疗期满后的处理方式等），也需要根据约定来判断公司的责任。

建议：

• 对于员工而言，如果医疗期结束后仍需要继续休病假，应及时与公司沟通，了解公司的政策和态度。如果公司提出解除劳动合同，员工应要求公司说明理由，并咨询专业律师以维护自己的合法权益。
• 对于公司而言，在解除与员工的劳动合同时，应确保解除行为合法合规，避免违法解除带来的法律风险。如果员工医疗期结束后确实无法继续工作，公司应考虑与员工协商解决方案，如调整工作岗位、提供医疗期延长等。

后续行动：

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