结论：连续签订五次固定期限劳动合同后，是否享有赔偿需视具体情况而定，主要取决于劳动合同到期后用人单位是否选择续签以及续签的条件。
分析说明：
劳动合同到期不续签的情况：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，如果用人单位不续签劳动合同，应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿的标准通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 举例：如果劳动者在用人单位连续工作了五年，且每次都是签订固定期限劳动合同，到期后用人单位决定不续签，那么用人单位应当向劳动者支付五个月工资的经济补偿。
劳动合同到期续签但条件变更的情况：
- 如果劳动合同到期后，用人单位提出续签劳动合同，但续签的条件（如工资、职位、工作地点等）较之前有所降低，劳动者不同意续签的，用人单位通常不需要支付经济补偿。但是，如果用人单位降低条件导致劳动者不同意续签，且这种降低条件并非基于合理的经营需要或法律法规的规定，劳动者可以主张用人单位支付经济补偿，不过这一点的具体认定可能因地区和具体案情而异。
- 特殊情况：如果用人单位以不续签为威胁，迫使劳动者接受降低的续签条件，劳动者可以主张用人单位的行为构成胁迫，并要求用人单位支付经济补偿或寻求其他法律救济。
连续签订固定期限劳动合同后的特殊保护：
- 在某些地区或特定情况下，如果劳动者与用人单位连续签订了多次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反用人单位规章制度或法律法规的行为，劳动者可能有权要求用人单位签订无固定期限劳动合同。如果用人单位拒绝签订无固定期限劳动合同而选择终止劳动关系，可能需要支付更高的经济补偿或赔偿金。不过，这一点并非全国统一规定，而是可能因地区而异。
- 举例：在某些地区，如果劳动者与用人单位连续签订了两次或更多次固定期限劳动合同，且劳动者提出签订无固定期限劳动合同，用人单位应当签订。如果用人单位拒绝并终止劳动关系，可能需要支付双倍的经济补偿作为赔偿金。
行动建议：
- 如果您面临连续签订五次固定期限劳动合同后的情况，首先应当查看当地的法律法规和政策，了解具体的规定和保护措施。
- 如果用人单位不续签劳动合同或降低续签条件，您可以与用人单位协商，要求支付经济补偿或寻求其他合理的解决方案。
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁，以维护自己的合法权益。
后续思考依据：
- 在处理此类问题时，需要综合考虑当地的法律法规、政策以及具体案情，以确定最合适的解决方案。
- 劳动合同的签订和续签是劳动关系中的重要环节，劳动者应当了解自己的权益和义务，以便在必要时维护自己的合法权益。
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