工伤三级员工是否需要和公司继续签订劳动合同，这主要取决于员工与公司的协商以及相关法律法规的规定，但通常情况下，工伤三级员工与公司的劳动关系仍然存续，双方可以协商续签或维持原劳动合同。以下从几个方面进行详细分析：

1. 劳动关系存续性：

   • 工伤三级属于较为严重的工伤等级，根据《工伤保险条例》及相关规定，工伤员工在停工留薪期满后，若仍需治疗或存在残疾、影响劳动能力的，应当继续享受工伤保险待遇，且其劳动关系原则上并不因工伤而自动解除。
   • 因此，工伤三级员工与公司的劳动关系在工伤发生后仍然存续，除非双方协商一致解除或依法终止劳动关系。

2. 劳动合同续签或维持：

   • 在劳动关系存续期间，员工与公司之间的劳动合同是否需要续签或维持，主要取决于双方的协商和原劳动合同的约定。
   • 若原劳动合同即将到期，且工伤员工仍希望继续在公司工作，双方可以协商续签劳动合同。续签时，应充分考虑工伤员工的身体状况和劳动能力，合理确定工作内容、工作时间和劳动报酬等条款。
   • 若双方未就续签劳动合同达成一致，但工伤员工仍希望维持劳动关系，且公司也未提出解除或终止劳动关系的，则原劳动合同继续有效，双方应继续履行。

3. 特殊情况下的处理：

   • 若工伤员工因工伤导致完全丧失劳动能力，且符合《工伤保险条例》规定的退休条件或领取伤残津贴条件的，可以按照相关规定办理退休手续或领取伤残津贴，此时劳动关系可能依法终止或变更。
   • 若公司因经营困难、破产等原因需要裁员或解除与工伤员工的劳动关系，必须依法进行，并支付相应的经济补偿和工伤保险待遇。

4. 法律建议：

   • 对于工伤三级员工而言，建议与公司进行充分沟通，明确自己的身体状况和劳动能力，以及希望继续工作的意愿和条件。
   • 对于公司而言，应尊重工伤员工的权益，依法与其协商续签或维持劳动合同，并提供必要的支持和帮助。
   • 若双方在劳动合同续签或维持方面存在争议，可以寻求劳动争议调解仲裁机构的帮助，通过调解或仲裁解决争议。

总结来说，工伤三级员工与公司的劳动关系在工伤发生后仍然存续，双方可以协商续签或维持原劳动合同。在处理此类问题时，应充分考虑工伤员工的身体状况和劳动能力，以及双方的合法权益和意愿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。