结论：机关工勤人员因醉驾被解除劳动合同后，若认为解除行为违法或存在争议，可以申请劳动仲裁。以下从不同角度详细分析：
一、醉驾是否构成用人单位解除劳动合同的合法理由
根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可以解除劳动合同。醉驾若构成危险驾驶罪并被追究刑事责任，用人单位有权依据此条款解除劳动合同。但需注意：
刑事责任认定：醉驾必须经法院判决构成危险驾驶罪，并承担刑事责任，用人单位方可依据《劳动合同法》第三十九条解除劳动合同。若仅处于行政处罚阶段（如拘留、罚款），尚未构成刑事责任，用人单位不能直接以此为由解除劳动合同。
规章制度依据：若用人单位的规章制度中明确规定“醉驾属于严重违反规章制度的行为，用人单位可以解除劳动合同”，且该规章制度已依法向劳动者公示或告知，用人单位也可依据此规定解除劳动合同。但需确保规章制度的内容合法、合理，且制定程序符合法律规定。
二、劳动仲裁的适用情形
若机关工勤人员认为用人单位解除劳动合同的行为违法或存在争议，如：
醉驾未构成刑事责任：若醉驾行为未被法院判决构成危险驾驶罪，或仅处于行政处罚阶段，用人单位以此为由解除劳动合同可能缺乏法律依据。
规章制度未公示或告知：若用人单位的规章制度未依法向劳动者公示或告知，或规章制度内容违法、不合理，劳动者可主张用人单位解除劳动合同的行为违法。
解除程序违法：若用人单位在解除劳动合同过程中未履行法定程序，如未提前通知工会或劳动者本人，或未支付经济补偿等，劳动者也可申请劳动仲裁。
三、劳动仲裁的流程与注意事项
准备仲裁材料：包括仲裁申请书、身份证复印件、劳动合同或劳动关系证明、用人单位解除劳动合同的通知或决定、相关证据材料（如醉驾的行政处罚决定书、法院判决书等）。
提交仲裁申请：向用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并按照仲裁委员会的要求填写相关表格、缴纳仲裁费用。
参与仲裁程序：在仲裁过程中，劳动者需积极举证、质证，阐述自己的主张和理由。仲裁委员会将依法进行调解或裁决。
执行仲裁裁决：若仲裁裁决支持劳动者的主张，用人单位需履行裁决义务。若用人单位不履行，劳动者可向法院申请强制执行。
四、建议与风险提示
及时咨询专业律师：劳动仲裁涉及复杂的法律程序和证据规则，建议劳动者在申请仲裁前及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，制定合理的仲裁策略。
保留相关证据：劳动者在醉驾事件发生后，应妥善保留相关证据材料，如行政处罚决定书、法院判决书、用人单位解除劳动合同的通知等，以便在仲裁过程中使用。
注意仲裁时效：根据《劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。劳动者应在知道或应当知道自己的权利被侵害之日起一年内申请仲裁，逾期可能丧失仲裁权利。
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