结论：在第二次劳动合同到期时，若劳动者提出续签无固定期限劳动合同，公司一般不可以拒绝续签，否则可能面临法律责任。但存在特定情形下，公司可以不续签，不过需支付经济补偿。
分析说明：
一般情况下的续签义务：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这意味着，在第二次劳动合同到期时，如果劳动者提出续签无固定期限劳动合同，且不存在法定例外情形，公司有义务与劳动者续签。
公司可以不续签的特定情形：
- 虽然上述规定了公司的续签义务，但也存在例外情况。如果劳动者存在《劳动合同法》第三十九条规定的过错情形（如严重违反用人单位的规章制度、严重失职等），或者存在第四十条第一项、第二项规定的情形（如劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；或者劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的），公司可以不续签劳动合同。但在此情况下，公司需要支付经济补偿。
不续签的法律后果：
- 如果公司违反法律规定，在第二次劳动合同到期时拒绝与劳动者续签无固定期限劳动合同，且不存在法定例外情形，那么公司可能面临法律责任。劳动者有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿的两倍。经济补偿的计算公式为：经济补偿=工作年限×月工资（工作年限按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。
行动建议：
- 对于劳动者：如果第二次劳动合同到期，且你希望续签无固定期限劳动合同，应提前与公司沟通并明确表达你的意愿。如果公司拒绝续签，你可以咨询专业律师（即我，王少卿律师，专注于婚姻家庭、合同纠纷、刑事辩护领域），了解你的权益和可能的维权途径。
- 对于公司：在第二次劳动合同到期前，应评估是否需要与劳动者续签无固定期限劳动合同。如果决定不续签，应确保存在法定例外情形，并依法支付经济补偿。同时，建议公司在处理此类事宜时咨询专业律师，以避免法律风险。
法律背景：
- 《劳动合同法》第十四条：连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 《劳动合同法》第三十九条、第四十条：规定了公司可以解除劳动合同的法定情形。
- 《劳动合同法》第四十七条、第八十七条：规定了经济补偿的计算方法和违法解除劳动合同的赔偿金标准。