结论：店长在此情况下是否承担责任，需根据具体情况判断，包括店长的管理职责、是否尽到安全保障义务以及厨师的行为是否超出其可控范围等。同时，未签员工合同并不影响责任认定，但可能涉及其他法律问题。
详细分析：
店长的管理职责与安全保障义务：
- 店长作为餐厅的管理者，对餐厅的安全运营负有直接责任。这包括确保厨房设备的安全使用、制定并执行安全操作规程、对员工进行安全培训等。
- 如果厨师不关火导致油锅起火，店长是否承担责任，首先取决于店长是否尽到了上述安全保障义务。如果店长已经制定了合理的安全规程，并对厨师进行了必要的培训，但厨师仍然违反规定导致事故，那么店长的责任可能会相对减轻。
- 然而，如果店长未能提供安全的工作环境，或者对厨师的违规行为视而不见，那么店长可能需要承担更大的责任。
厨师的行为与责任：
- 厨师作为直接操作油锅的人员，对油锅的安全使用负有直接责任。如果厨师因疏忽大意或故意违反安全规定导致油锅起火，那么厨师应当承担相应的责任。
- 在这种情况下，即使店长已经尽到了安全保障义务，厨师仍然可能需要因其个人行为而承担责任。
未签员工合同的影响：
- 未签员工合同并不影响上述责任认定。无论是否签订劳动合同，员工和雇主之间的劳动关系仍然存在，双方都需要遵守相关的劳动法律法规和安全规定。
- 但是，未签劳动合同可能涉及其他法律问题，如未签订劳动合同的双倍工资赔偿、社会保险缴纳等。这些问题虽然与本次事故的责任认定无直接关联，但店长仍需注意并妥善处理。
法律建议：
- 对于店长而言，应立即采取措施确保餐厅的安全运营，包括检查厨房设备、加强员工安全培训、制定并执行更严格的安全操作规程等。
- 同时，店长应尽快与厨师签订劳动合同，明确双方的权利和义务，以避免未来可能出现的劳动纠纷。
- 如果事故已经发生，店长应积极配合相关部门进行调查，并根据调查结果承担相应的责任。如果店长认为自身无责或责任较轻，可以收集相关证据（如安全规程、培训记录等）以支持自己的主张。
可能后果：
- 如果店长被认定承担责任，可能需要承担火灾造成的损失赔偿、对受伤员工的医疗费用赔偿等。
- 如果未签劳动合同被认定为违法行为，店长可能需要支付未签订劳动合同的双倍工资赔偿、补缴社会保险等。
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