结论前置：在刑事调查阶段，若因犯罪嫌疑人聘请律师导致立案监督不予立案，可通过申请复议、申请检察机关立案监督、向公安机关提出异议、提起刑事自诉等途径维护权益。以下为具体分析：

1. 申请复议
   根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第一百七十九条，若公安机关认为没有犯罪事实或犯罪情节显著轻微不需要追究刑事责任而决定不予立案，犯罪嫌疑人或其律师有权在收到不予立案通知书后七日内向原决定机关申请复议。复议申请需明确指出不予立案决定的错误依据，例如证据不足、法律适用错误等，并附相关证据材料。公安机关应在收到复议申请后七日内作出决定，并书面通知申请人。

2. 申请检察机关立案监督
   若复议结果仍维持不予立案决定，可依据《刑事诉讼法》第一百一十三条向同级人民检察院申请立案监督。检察机关将审查公安机关不予立案的理由是否充分，若认为公安机关不立案理由不能成立，会通知公安机关立案，公安机关接到通知后应当立案。申请时需提交不予立案通知书、复议决定书及律师意见书等材料，重点论证案件符合刑事立案标准（如存在犯罪事实、需要追究刑事责任等）。

3. 向公安机关提出异议并要求说明理由
   根据《刑事诉讼法》第一百一十二条，公安机关对控告材料必须迅速审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任时，应立案；认为没有犯罪事实或犯罪事实显著轻微不需要追究刑事责任时，不予立案并说明理由。若公安机关未充分说明理由或理由不成立，律师可要求其出具书面说明，并针对说明中的漏洞（如忽视关键证据、错误解读法律条文等）提出反驳意见，推动案件重新审查。

4. 提起刑事自诉（针对特定案件）
   若案件属于《刑事诉讼法》第二百一十条规定的“被害人有证据证明的轻微刑事案件”（如故意伤害案、侮辱诽谤案等），且公安机关不予立案，被害人可直接向人民法院提起刑事自诉。此时需准备充分证据（如伤情鉴定、证人证言、视听资料等）证明犯罪事实及被告人身份，并撰写刑事自诉状明确诉讼请求（如追究刑事责任、要求赔偿损失等）。

实务建议：

• 律师应全程参与案件审查，协助犯罪嫌疑人或其家属收集、固定证据（如监控录像、通话记录、转账凭证等），形成完整证据链以支持立案申请。
  
• 在申请立案监督或复议时，需结合《刑法》具体罪名构成要件（如主观故意、客观行为、危害结果等）及《刑事诉讼法》立案标准，针对性反驳公安机关不予立案的理由。
  
• 若公安机关存在拖延、推诿等程序违法行为，可依据《公安机关执法细则》向其上级机关或纪检监察部门投诉，督促其依法履职。
  

温馨提示：刑事立案是启动刑事诉讼程序的关键环节，若遇到不予立案情况，建议及时委托律师介入，通过法律途径维护合法权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体案件处理方案。