当检察院不予支持刑事立案监督时，您可以采取以下措施来维护自身权益：

1. 理解并复核检察院的决定

   • 详细了解决定理由：首先，您需要仔细阅读检察院出具的不支持立案监督决定书，明确了解检察院不支持的具体理由和法律依据。这有助于您后续采取更有针对性的措施。
   • 自我评估与复核：基于检察院给出的理由，您应客观评估案件情况，检查是否有遗漏或未被充分考虑的证据和线索。如果发现新证据或关键线索，应立即整理并准备相应的材料，为后续申请复议或复核提供有力支持。

2. 向检察院申请复议或复核

   • 申请复议：如果您认为检察院的决定存在程序性错误、证据认定瑕疵等情形，可以在收到决定书后法定期限内（通常为7日）向作出决定的人民检察院提出复议申请。检察院应另行指定检察人员进行审查，并在收到复议申请后7日内作出复议决定。
   • 申请复核：如果您对复议决定仍不服，可以在收到复议决定书后7日内向上一级人民检察院提出复核申请。上一级检察院应在收到复核申请后14日内作出复核决定，并通知下级检察院和公安机关执行。

3. 收集新证据后再次申请监督

   • 如果您认为检察院的决定有误，且发现了新的、能够证明有犯罪事实需要追究刑事责任的证据，可以再次向检察院提出立案监督申请。在申请时，应详细说明新证据的情况及为何认为应当立案，请求检察院重新审查案件。

4. 向相关部门申诉

   • 向检察院申诉：根据《人民检察院复查刑事申诉案件规定》，您可以向作出不支持决定的检察院或其上一级检察院的控告申诉检察部门提出申诉。在申诉时，应阐述自己认为应当立案的理由和依据，要求检察院对案件进行复查。
   • 向其他相关机关申诉：如向同级人大常委会反映情况，请求其对检察院的立案监督决定进行监督和审查；或向政法委申诉，请求其作为党委领导和管理政法工作的职能部门，对政法机关的执法行为进行监督和协调。
   • 向公安机关内部机构申诉：您还可以向公安机关的法制部门、纪检监察机关反映情况，请求他们进行进一步的调查和处理。

5. 考虑提起法律诉讼

   • 提起行政诉讼：如果您认为检察院的决定存在明显的法律错误或程序不当，且该决定对您产生了实际影响，您可以考虑向法院提起行政诉讼，要求法院对检察院的决定进行审查。但需要注意的是，行政诉讼的提起需满足一定的条件，且诉讼过程可能较为复杂和漫长。
   • 提起刑事自诉（针对部分案件）：若案件属于自诉案件的范围（如侮辱、诽谤罪等轻微刑事案件），且您认为有充分的证据证明犯罪事实，您可以直接向有管辖权的人民法院提起刑事自诉，通过自诉程序来维护自身权益。

6. 保持冷静与理性，寻求专业帮助

   • 在整个过程中，您应保持冷静和理性，尊重法律程序和权威。同时，由于法律程序复杂且专业性强，我建议您在必要时直接向我咨询，我可以根据您的具体情况提供更具体的法律建议和帮助，包括审核申请材料是否完备、协助收集关键证据、制定针对性法律策略等。

面对检察院不予支持刑事立案监督的决定，您有多种合法的救济途径可供选择。选择哪种途径应根据具体情况和法律规定来决定，并确保在整个过程中遵循法律程序和规定。希望以上建议能对您有所帮助。