若检察机关作出不支持监督的决定，当事人可以在该决定作出之日起一年内向上一级人民检察院申请复查一次。这是法律为当事人提供的重要救济途径，旨在确保其合法权益得到充分保障。以下从多个角度对此问题进行详细分析：
一、申请复查的具体流程
明确决定时间：首先，当事人需要确认检察机关已经作出不支持监督申请的决定，并了解该决定的作出时间。这是申请复查的前提条件。
准备相关材料：在决定作出之日起一年内，当事人需要准备好相关材料，包括原案件材料、监督申请书及不支持监督申请决定的复印件等。这些材料是申请复查的重要依据。
提交复查申请：当事人应向上一级人民检察院提交复查申请，并等待其进行复查。在复查过程中，负责控告申诉检察的部门会进行初核。
等待复查结果：如果初核发现可能有法定情形之一（如有新的证据足以推翻原判决、裁定等），控告申诉检察部门会移送本院负责民事检察的部门审查处理。负责民事检察的部门审查后，会作出相应决定。
二、申请复查的法律依据
根据《人民检察院民事诉讼监督规则》第一百二十六条的规定，当事人认为人民检察院对同级人民法院已经发生法律效力的民事判决、裁定、调解书作出的不支持监督申请决定存在明显错误的，可以在不支持监督申请决定作出之日起一年内向上一级人民检察院申请复查一次。这一规定为当事人提供了明确的法律救济途径。
三、申请复查的注意事项
时效性：当事人必须在不支持监督申请决定作出之日起一年内提出复查申请，逾期将无法再申请复查。
材料准备：当事人需要准备充分的材料来支持其复查申请，包括原案件材料、监督申请书及不支持监督申请决定的复印件等。这些材料应真实、完整、准确。
法定情形：在申请复查时，当事人应关注是否存在法定情形之一。如果存在这些情形，控告申诉检察部门可能会将案件移送本院负责民事检察的部门审查处理。
四、其他救济途径
除了向上一级人民检察院申请复查外，当事人还可以考虑以下救济途径：
向其他监管机构投诉反映：除了检察机关外，当事人还可以向其他具有监督作用的机构（如各级人民法院、政府监察部门等）投诉反映问题，寻求支持。
依法提起诉讼：如果当事人认为公安机关在执法过程中存在不当或不公行为，可以依法提起行政诉讼或民事诉讼来维护自身合法权益。
建议：在面对检察机关作出不支持监督的决定时，当事人应保持冷静和理性，按照法律规定的程序和要求申请复查。同时，也可以考虑咨询专业律师以获取更全面的法律建议和帮助。如果你有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，可以直接向我提问。