当您向区检察院申请立案刑事案法律监督却不被批准时，您可以采取以下几步措施来应对：

首先，您可以向该检察院的检务督察部门反映情况。立案监督是检察机关的一项重要刑事监督职能，对促进规范执法、公正执法具有重要作用。如果您认为检察院的不批准决定存在不当之处，通过检务督察部门可以寻求内部监督，促使检察院重新审查您的申请。

如果向检务督察部门反映后仍未得到满意的结果，您可以考虑向该检察院提出复议。在复议过程中，您需要详细阐述立案的重要性和必要性，以及为何认为应当立案。通过复议，您可以进一步表达您的观点和诉求，并有可能促使检察院改变原决定。

若复议仍然无果，您可以向上级人民检察院进行举报。上级人民检察院有权对下级检察院的立案监督活动进行审查和指导。您可以向上级检察院提供详细的案情和申请理由，请求其对下级检察院的决定进行复核，并给出公正的指导意见。

除了上述途径外，您还可以寻求其他监督途径。例如，您可以向当地的人民代表大会常务委员会（人大）或政治协商会议（政协）等机关反映情况，寻求其支持和帮助。这些机关通常具有一定的监督职能，可以协助您推动问题的解决。

在整个过程中，建议您保持冷静和理性，尊重法律程序，并积极配合相关部门的调查和处理工作。同时，您也可以咨询专业的法律人士，以获取更具体的法律建议和支持。

总之，当您向区检察院申请立案刑事案法律监督不被批准时，不要气馁或放弃。通过采取适当的措施和途径，您有可能促使检察院重新审查您的申请，并最终获得公正的处理结果。