结论：行政事业单位因您15年前的判刑记录而开除您，这一做法是否合法，需结合您被判刑时的身份性质、开除依据的具体规定以及时效性等因素综合判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、若您被判刑时为行政事业单位工作人员（在编人员）
依据《行政机关公务员处分条例》：
- 该条例第十七条规定，行政机关公务员依法被判处刑罚的，给予开除处分。但此规定主要针对的是公务员在任职期间被判处刑罚的情况。
- 关键点：若您被判刑时是在职公务员，且该判刑发生在您任职期间，那么根据此条例，您确实可能面临开除处分。但问题在于，这一处分应在判刑时或之后不久作出，而非15年后。
时效性问题：
- 一般来说，行政处分应具有一定的时效性，即应在违法行为发生后的一定时间内作出。15年的时间跨度显然超出了常规的时效范围。
- 分析：除非有特别规定或理由，否则行政事业单位在15年后因您过去的判刑记录而开除您，可能缺乏时效上的合理性。
特殊情况：
- 如果您被判刑后，单位并未立即作出开除决定，而是保留了您的编制或职位，并在15年后因某种原因（如政策变化、内部审查等）决定开除您，这可能需要具体分析单位内部的规章制度以及相关法律法规的适用性。
二、若您被判刑时并非行政事业单位工作人员（非在编人员）
一般原则：
- 如果您被判刑时并非行政事业单位的工作人员，那么单位在您后来成为工作人员后，因您过去的判刑记录而开除您，可能缺乏直接的法律依据。
单位规章制度：
- 然而，如果单位在招聘或录用您时，明确规定了有犯罪记录者不得录用，或录用后发现犯罪记录可予以开除，且这一规定不违反法律法规的强制性规定，那么单位可能依据此规定开除您。
- 关键点：需审查单位的相关规章制度是否合法、合理，以及是否在您入职时已明确告知您。
时效性与合理性：
- 同样，即使单位有相关规定，15年的时间跨度也可能使开除决定缺乏时效上的合理性。除非单位能证明您在入职时隐瞒了犯罪记录，且这一隐瞒对单位的录用决策产生了重大影响。
三、综合建议
审查单位决定：
- 首先，建议您仔细审查单位开除您的具体决定和依据，包括相关法律法规、单位规章制度以及您的入职材料等。
咨询与申诉：
- 如果您认为单位的开除决定缺乏法律依据或合理性，可以向单位提出申诉或咨询相关法律专业人士（如我，韦端宁律师，专注于刑事辩护等领域）。
- 注意：在申诉或咨询时，请提供详细的个人信息、判刑记录、单位决定及相关证据材料。
法律途径：
- 如果申诉无果，您还可以考虑通过法律途径维护自己的权益，如提起行政诉讼或劳动争议仲裁等。
最后，每个案件都有其独特性，上述分析仅供参考。如果您有更详细的信息或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供更专业、更全面的法律建议。