结论前置：员工合同到期不肯走，公司需根据具体情况采取相应措施。一般情况下，若公司不续签合同，应支付经济补偿并协助员工办理离职手续；若公司希望续签但员工拒绝，则公司无需支付经济补偿，但应尊重员工选择；若员工无合理理由滞留，公司可通过沟通、书面通知、法律途径等方式解决。以下是具体分析：
一、确认合同到期与了解员工意图
- 查看劳动合同：首先，公司应明确劳动合同的约定期限已经届满，查阅合同文本中关于起止时间的条款，确保合同确实已经到期。
- 与员工沟通：主动与员工进行沟通，了解其不愿离开的具体原因。可能是员工对合同续签有误解，或者希望获得更好的工作条件，也有可能是个人原因导致暂时无法离职。在沟通过程中，公司应保持耐心和尊重，尽量以友好方式解决问题。
二、根据不同情况采取相应措施
公司不续签合同：
- 支付经济补偿：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条第五项规定，除公司维持或提高劳动合同约定条件续订而员工不同意的情况外，若公司决定不续签，员工可要求支付经济补偿。经济补偿按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 办理离职手续：公司应协助员工办理离职手续，包括开具离职证明、结算工资、办理社保减员等。
公司希望续签但员工拒绝：
- 尊重员工选择：若公司希望续签合同但员工拒绝，公司应尊重员工的选择，无需支付经济补偿。
- 办理离职手续：同样，公司应协助员工办理离职手续，确保双方权益得到保障。
员工无合理理由滞留：
- 书面通知：若员工在合同到期后无合理理由滞留公司，公司可向员工发出书面通知，明确要求其在一定期限内办理离职手续并离开公司。
- 法律途径：若员工仍拒绝离开，公司可向当地劳动监察部门投诉，要求其责令员工改正违法行为。必要时，公司也可向法院提起诉讼，要求员工承担因其滞留行为给公司造成的损失。
三、注意事项
- 保持冷静与理性：在整个过程中，公司应保持冷静和理性，避免采取过激行为或非法手段驱赶员工，以免面临法律风险。
- 证据保存：无论是沟通记录、书面通知还是其他相关凭证，公司都应妥善保存，以便在必要时作为证据使用。特别是在涉及经济补偿和离职手续办理时，证据的重要性不言而喻。
- 合法合规操作：公司在处理此类问题时，应确保自身行为的合法性，遵守相关法律法规和规章制度。例如，在支付经济补偿时，应按照法定标准计算并支付；在办理离职手续时，应确保手续齐全、合法有效。
四、具体操作流程（以公司不续签合同为例）
- 确认合同到期：查阅劳动合同文本，确认合同确实已经到期。
- 与员工沟通：主动与员工沟通，了解其不愿离开的原因，并尝试通过友好方式解决问题。
- 计算经济补偿：根据员工在本单位工作的年限和月工资标准，计算应支付的经济补偿金额。计算公式为：经济补偿金额 = 工作年限 × 月工资标准（工作年限满一年按一年计算，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的按半个月工资计算）。
- 发出书面通知：向员工发出书面通知，明确告知合同已到期且公司不续签，要求其在一定期限内办理离职手续并离开公司。同时，告知员工应获得的经济补偿金额和支付方式。
- 办理离职手续：协助员工办理离职手续，包括开具离职证明、结算工资、办理社保减员等。确保所有手续齐全、合法有效。
- 支付经济补偿：按照书面通知中约定的时间和方式，向员工支付经济补偿金额。
总结：员工合同到期不肯走是一个复杂的问题，需要公司根据具体情况采取相应措施。在处理此类问题时，公司应保持冷静和理性，遵守相关法律法规和规章制度，确保双方权益得到保障。如有任何疑问或需要进一步帮助，请随时向我咨询。