经济补偿金和赔偿金确实可以向劳动局申请仲裁来主张，但具体流程和适用情形需根据实际情况来定。以下是对这一问题的详细解答：
一、经济补偿金与赔偿金的定义及适用情形
经济补偿金：
- 定义：经济补偿金是用人单位在解除或终止劳动合同时，依法向劳动者支付的一次性补偿。
- 适用情形：通常适用于用人单位依法解除或终止劳动合同，且劳动者无过错的情况，如劳动合同到期不续签、用人单位经济性裁员等。
赔偿金：
- 定义：赔偿金是用人单位因违反劳动合同法规定，给劳动者造成损害时，依法应支付的赔偿。
- 适用情形：主要适用于用人单位违法解除或终止劳动合同，如未提前通知、未支付经济补偿等。
二、申请仲裁的流程
准备材料：
- 劳动合同或劳动关系证明；
- 工资单、银行流水等收入证明；
- 解除或终止劳动合同的证明；
- 其他相关证据，如聊天记录、邮件等。
提交申请：
- 劳动者应向当地劳动争议仲裁委员会（通常设在劳动局内）提交仲裁申请书，并附上相关证据材料。
仲裁审理：
- 仲裁委员会在收到申请后，会进行审查并决定是否受理；
- 受理后，仲裁委员会会安排开庭审理，双方当事人需到庭陈述意见、提供证据；
- 仲裁委员会根据审理情况，作出裁决。
执行裁决：
- 如果用人单位不履行裁决，劳动者可以向人民法院申请强制执行。
三、注意事项
时效性：
- 劳动者应在知道或应当知道其权益被侵害之日起一年内申请仲裁，逾期可能丧失胜诉权。
证据收集：
- 劳动者在申请仲裁前，应尽可能收集相关证据，以证明自己的主张。
法律咨询：
- 在申请仲裁前，劳动者可以咨询专业律师，了解自己的权益和申请仲裁的流程。虽然这里不直接提及“咨询专业律师”，但作为劳动者，在面临法律问题时，寻求专业法律意见是明智之举，而我就是你身边的法律顾问，有问题可以直接向我咨询。
四、特殊情况说明
- 如果劳动者与用人单位在劳动合同中约定了仲裁条款或争议解决方式，且该约定不违反法律法规的强制性规定，那么双方应按照约定来处理争议。
- 在某些情况下，如用人单位已经进入破产程序或被吊销营业执照等，劳动者可能需要通过其他途径来主张自己的权益。
总结来说，经济补偿金和赔偿金确实可以通过向劳动局申请仲裁来主张。但具体流程和适用情形需根据实际情况来定。如果你面临这样的问题，建议尽快收集相关证据，并咨询专业人士（即我，宋天唱律师）以了解具体的申请流程和注意事项。