结论：工人做了9个月自动离职且未签劳动合同，公司是否需要赔偿双倍工资，需视具体情况而定，但一般情况下，公司确实存在支付未签订劳动合同双倍工资差额的法律风险。以下从不同角度进行分析：
一、法律责任角度
根据《劳动合同法》及其实施条例的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定旨在保护劳动者的合法权益，确保劳动合同的签订，从而明确双方的权利和义务。
未签订劳动合同的双倍工资差额：
- 在您描述的情况下，工人已经工作了9个月且未签订劳动合同，公司原则上需要支付从用工之日起满一个月的次日至离职之日的双倍工资差额。
- 具体计算方式为：双倍工资差额 = 月工资 × 未签订劳动合同的月数（最多不超过11个月）。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
自动离职的影响：
- 工人自动离职并不影响其主张未签订劳动合同的双倍工资差额的权利。自动离职是劳动者单方面解除劳动合同的行为，但这并不免除用人单位因未签订劳动合同而应承担的法律责任。
二、特殊情况角度
虽然一般情况下公司需要支付双倍工资差额，但也存在一些特殊情况可能免除或减轻公司的责任：
劳动者拒绝签订劳动合同：
- 如果公司能够证明已经向劳动者提出了签订劳动合同的要求，但劳动者拒绝签订，且公司已经及时终止了与劳动者的劳动关系（如按照《劳动合同法实施条例》第五条的规定操作），则公司可能不需要支付双倍工资差额。
- 但需要注意的是，公司必须能够提供充分的证据证明其已经履行了签订劳动合同的义务，且劳动者的拒绝签订是导致未签订劳动合同的直接原因。
不可抗力或劳动者被限制人身自由等客观情况：
- 在某些特殊情况下，如不可抗力或劳动者被限制人身自由等，导致公司无法与劳动者签订劳动合同的，公司可能不需要承担支付双倍工资差额的责任。
- 但这种情况较为罕见，且需要公司能够提供充分的证据证明其无法签订劳动合同的客观原因。
三、实践建议角度
公司应尽快与劳动者补签劳动合同：
- 无论劳动者是否已经离职，公司都应尽快与其补签劳动合同，以明确双方的权利和义务，避免后续的法律纠纷。
公司应完善劳动合同管理制度：
- 公司应建立完善的劳动合同管理制度，确保在用工之日起一个月内与劳动者签订书面劳动合同，并妥善保存相关证据。
劳动者应积极主张自己的权利：
- 如果劳动者认为公司未依法与其签订劳动合同并侵犯了其合法权益，可以依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，主张自己的权利。
总结与建议：在您描述的情况下，公司原则上需要支付未签订劳动合同的双倍工资差额。但公司也可以考虑是否存在特殊情况（如劳动者拒绝签订劳动合同或存在不可抗力等客观情况）来免除或减轻其责任。无论如何，公司都应尽快与劳动者补签劳动合同并完善劳动合同管理制度，以避免后续的法律纠纷。如果您或公司对此有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。