结论：员工未签劳动合同且自动离职两个半月，是否需要赔偿需分情况讨论。一般来说，员工自动离职本身不需要向公司赔偿，但公司可能需因未签劳动合同而向员工支付赔偿；同时，若员工离职给公司造成实际损失，公司有权要求赔偿。
详细分析：
员工自动离职的法律后果：
- 员工自动离职，即未经公司同意擅自离职，通常不构成对公司的违约（除非劳动合同或公司规章制度中有特别约定）。因此，员工一般不需要因自动离职而向公司支付赔偿。
- 但员工自动离职可能违反公司的规章制度或劳动合同中的约定（如提前通知期），公司有权根据内部规定对员工进行处理，如扣除部分工资、奖金或福利等，但这并不等同于赔偿。
公司未签劳动合同的法律责任：
- 根据《劳动合同法》的规定，公司应在员工入职后一个月内与其签订书面劳动合同。若公司未按时签订，则需向员工支付双倍工资作为赔偿，赔偿期限从入职后第二个月起算，至签订劳动合同前一日或员工离职前一日止（以较早者为准）。
- 计算公式：若员工月工资为W，入职后未签劳动合同的时间为M个月（M≤11，因为最多赔偿11个月），则公司需支付的赔偿金额为W×M。
- 在您描述的情况下，员工未签劳动合同且自动离职两个半月，若入职时间超过一个月，则公司至少需支付一个半月的双倍工资作为赔偿。
员工离职给公司造成损失的情况：
- 若员工自动离职给公司造成了实际损失（如因员工离职导致项目延误、客户流失等），公司有权要求员工赔偿这部分损失。
- 但公司需承担举证责任，即证明员工的离职行为与损失之间存在直接因果关系，并证明损失的具体金额。
建议：
- 对于公司而言，应尽快与员工补签劳动合同或办理离职手续，并明确双方的权利义务，以避免法律纠纷。
- 若公司认为员工离职给其造成了损失，应收集相关证据（如项目延误报告、客户流失记录等），并在法律规定的期限内（通常为离职后一年内）向员工主张赔偿。
- 对于员工而言，若认为公司未签劳动合同侵犯了其合法权益，可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求公司支付双倍工资赔偿。
后续行动：
- 若您是公司方，建议尽快与员工沟通，明确离职事宜，并咨询专业律师以了解具体的法律责任和应对策略。
- 若您是员工方，且认为公司未签劳动合同侵犯了您的权益，可以直接向我咨询具体的维权步骤和注意事项。