工厂未与员工签订劳动合同且未购买保险的行为，属于违法行为。具体分析如下：

1. 未签订劳动合同的违法性
   根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条、第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍工资，并补订书面劳动合同；若满一年仍未订立，视为已订立无固定期限劳动合同，用人单位仍需支付双倍工资差额（最多11个月）。
   例外情形：若因劳动者原因（如拒绝签订）导致未签合同，用人单位需提供证据（如书面通知、录音等）证明已履行催告义务，否则仍需承担责任。

2. 未购买社会保险的违法性
   根据《中华人民共和国社会保险法》第五十八条、第六十条，用人单位应当自用工之日起30日内为劳动者办理社会保险登记并缴纳社保（养老、医疗、失业、工伤、生育保险）。未缴纳的，由社保征收机构责令限期缴纳或补足，并自欠缴之日起按日加收万分之五的滞纳金；逾期仍不缴纳的，由有关行政部门处欠缴数额一倍以上三倍以下罚款。
   劳动者权益：若因未缴社保导致无法享受待遇（如医疗报销、工伤赔偿），劳动者可要求用人单位赔偿损失，甚至以此为由解除劳动合同并主张经济补偿金（按工作年限，每满一年支付一个月工资）。

建议行动：

• 收集证据：工资条、考勤记录、工作证、同事证言等证明劳动关系存在；
  
• 协商解决：与工厂沟通补签合同、补缴社保；
  
• 投诉举报：向当地劳动监察大队投诉（电话12333）或申请劳动仲裁；
  
• 法律途径：若协商无果，可向法院起诉要求赔偿双倍工资差额及社保损失。
  

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