结论：劳动者在试用期间因工作过错被开除，且未签订劳动合同的情况下，是否可以申诉赔付，需根据具体情况分析，若用人单位存在违法情形，劳动者有权申诉并要求赔付。以下从不同角度详细分析：
一、未签订劳动合同的法律后果
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于试用期，即试用期内用人单位也需与劳动者签订书面劳动合同。若未签订，劳动者有权要求用人单位支付双倍工资差额。
二、因工作过错被开除的合法性分析
过错程度与开除合法性：
- 若劳动者的工作过错构成严重违反用人单位规章制度或严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害的，用人单位有权依据《劳动合同法》第三十九条的规定解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 若劳动者的工作过错未达到上述严重程度，用人单位仅以此为由开除劳动者的，可能构成违法解除劳动合同。
试用期解除劳动合同的特殊规定：
- 在试用期内，用人单位解除劳动合同需证明劳动者不符合录用条件。若用人单位无法提供充分证据证明劳动者不符合录用条件，而仅以工作过错为由开除劳动者的，同样可能构成违法解除。
三、申诉赔付的途径与依据
申诉途径：
- 劳动者可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位支付未签订劳动合同的双倍工资差额及违法解除劳动合同的赔偿金。
赔付依据：
- 双倍工资差额：依据《劳动合同法》第八十二条，用人单位未与劳动者签订书面劳动合同的，需支付双倍工资差额。
- 违法解除赔偿金：依据《劳动合同法》第四十八条和第八十七条，用人单位违法解除劳动合同的，需支付赔偿金，赔偿金标准为经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
四、具体建议
收集证据：
- 劳动者应收集与用人单位存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录等。
- 收集用人单位未签订劳动合同及违法解除劳动合同的证据，如未签订劳动合同的书面证明、开除通知等。
咨询专业律师：
- 在申请劳动仲裁前，劳动者可咨询专业律师，了解自身权益及申诉赔付的具体流程。
- 律师可协助劳动者准备仲裁材料，提高申诉成功率。
及时申请仲裁：
- 劳动者应在知道或应当知道权益被侵害之日起一年内申请劳动仲裁，以免超过仲裁时效。
示例说明：假设劳动者在试用期内工作三个月，未签订劳动合同，且因轻微工作过错被开除。此时，劳动者有权要求用人单位支付两个月的双倍工资差额（因第一个月通常视为已签订劳动合同的宽限期），并可能因用人单位违法解除劳动合同而要求支付赔偿金（具体数额需根据劳动者工资及工作年限计算）。
后续行动建议：若您遇到类似情况，建议先与用人单位协商解决；协商无果的，可及时收集证据并咨询专业律师，准备申请劳动仲裁以维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。