当建筑承包方将工程或工作分包给私人，且该私人员工在工作中受伤时，赔偿问题确实需要根据具体情况来细致分析。以下是我为您提供的详细解答：
一、明确法律关系与责任主体
劳动关系与雇佣关系：
- 如果私人承包者与建筑承包方之间签订了劳动合同，形成了明确的劳动关系，那么当该员工在工作中受伤时，应按照《工伤保险条例》的相关规定来处理。此时，工伤保险基金和用人单位（即建筑承包方）将共同承担赔偿责任。
- 如果双方并未签订劳动合同，但存在事实上的劳务关系，即雇佣关系，那么将适用《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定。在这种情况下，建筑承包方作为雇主，需要对雇员在从事雇佣活动中遭受的人身损害承担赔偿责任。
承揽关系：
- 如果建筑承包方是以承揽合同的形式将工程或工作交给私人完成的，且该私人以自己的技能、设备独立完成工作并交付成果，那么双方之间构成承揽关系。在承揽关系中，定作人（即建筑承包方）一般不承担赔偿责任，除非其对定作、指示或选任存在过错。
二、不同法律关系的赔偿方式
劳动关系下的工伤赔偿：
- 如果私人承包者被认定为工伤，那么他将享受工伤保险待遇。
- 赔偿项目包括但不限于医疗费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金等。具体标准将依据《工伤保险条例》来确定。
雇佣关系下的损害赔偿：
- 在这种情况下，建筑承包方作为雇主，需要对雇员在从事雇佣活动中遭受的人身损害承担赔偿责任。
- 赔偿范围包括医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金等。具体数额将根据实际损失来计算，并可能需要通过法律程序来确定。
承揽关系下的责任划分：
- 在承揽关系中，如果承揽人在完成工作过程中造成自身损害，定作人一般不承担责任。
- 但是，如果定作人对定作、指示或选任存在过错（例如明知承揽人无相应资质仍发包），那么定作人需要承担相应的赔偿责任。
三、实际操作建议
确认法律关系：首先，需要明确双方之间是劳动关系、雇佣关系还是承揽关系。这是确定赔偿责任的前提和基础。
保留证据材料：在处理此类纠纷时，证据材料至关重要。因此，建议收集并保留好合同协议、工资支付记录、医疗证明等相关证据，以便在需要时为索赔提供有力依据。
协商调解优先：在发生纠纷后，尝试通过协商来解决是一个明智的选择。如果协商无果，可以考虑申请人民调解委员会介入调解。
依法主张权利：如果协商和调解均未能解决问题，那么可以根据双方之间的法律关系选择适当的法律途径来维权。例如，如果是劳动关系，可以选择劳动仲裁；如果是雇佣或承揽关系，则可以选择民事诉讼。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律建议，请随时咨询。