结论：针对您被第三方公司招聘去事业单位上班工作六个月一直没签劳动合同的情况，您有权向劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求确认劳动关系、支付未签劳动合同的双倍工资差额等。

详细分析：

1. 劳动关系的确认：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。即使未签订书面劳动合同，只要存在实际用工行为，劳动关系即成立。
   • 在您的情况下，虽然未与第三方公司或事业单位签订书面劳动合同，但您已经实际工作了六个月，因此劳动关系已经确立。

2. 未签劳动合同的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
   • 这意味着，在您工作的第二个月至第六个月期间，第三方公司应当向您支付双倍的工资差额。

3. 劳动仲裁的申请：

   • 您有权向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求确认与第三方公司的劳动关系，并要求支付未签劳动合同的双倍工资差额。
   • 在申请劳动仲裁时，您需要提供相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与第三方公司之间存在实际用工关系。

4. 可能的法律程序：

   • 劳动仲裁机构在受理您的申请后，会组织双方进行调解或开庭审理。
   • 如果调解成功，双方将签订调解协议，并按照协议内容履行。
   • 如果调解不成或一方不履行调解协议，劳动仲裁机构将作出裁决，裁决具有法律效力。
   • 如果对裁决结果不服，您还可以在法定期限内向人民法院提起诉讼。

5. 建议与注意事项：

   • 在申请劳动仲裁前，建议您先收集并整理好相关证据，以确保仲裁的顺利进行。
   • 如果您对劳动仲裁程序不熟悉或担心自己的权益得不到充分保障，可以考虑寻求专业律师的帮助。
   • 在整个过程中，保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。

后续行动建议：

• 尽快收集并整理好相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等。
• 向当地的劳动仲裁机构咨询并提交劳动仲裁申请。
• 如果需要，可以寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。

如果您在劳动仲裁过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。