结论：在工厂工作一个月10天未签劳动合同被辞退，劳动者有权要求工厂支付未签劳动合同的双倍工资差额以及可能的违法解除劳动合同的赔偿金。具体分析如下：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额

   • 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 在您的情况下，工厂在您工作一个月10天后仍未与您签订劳动合同，因此，您有权要求工厂支付这10天的双倍工资差额（即除正常工资外，再支付10天的工资作为赔偿）。但实际操作中，由于这10天可能跨越了第一个月的部分时间和第二个月的部分时间，且第一个月通常不视为未签合同（因为有一个月的宽限期），所以更准确的计算可能是从第二个月开始算起的10天双倍工资差额，具体需根据实际工资发放周期和入职日期来确定。但为简化理解，可概括为您有权要求至少部分时间的双倍工资差额。

2. 违法解除劳动合同的赔偿金

   • 如果工厂没有合法理由就辞退您，这可能构成违法解除劳动合同。
   • 根据《劳动合同法》第四十八条和第八十七条，用人单位违法解除劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 经济补偿标准通常是按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 在您的情况下，由于工作时间较短（一个月10天），如果构成违法解除，赔偿金可能接近或等于一个月的工资（具体取决于是否将那10天算作满半个月）。但需注意，这里的“一个月工资”是指您在劳动合同解除前十二个月的平均工资，由于您工作时间短，可能就以实际工作的工资为准。

行动建议：

• 首先，与工厂协商，要求支付未签劳动合同的双倍工资差额和可能的违法解除劳动合同的赔偿金。
• 如果协商不成，可以向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，保留好相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与工厂之间的劳动关系以及工厂未签劳动合同和违法解除的事实。