结论：是否需要向原用人单位打离职申请，取决于您与中介公司所签合同的具体性质以及您与原用人单位的劳动关系状态，以下分情况说明：

1. 若与中介公司签订的是劳务派遣合同，且您仍与原用人单位存在劳动关系
   在此情况下，您与原用人单位的劳动关系并未因与中介公司签订合同而终止。根据《劳动合同法》第三十七条，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。因此，您仍需向原用人单位提交离职申请，并按照法定程序办理离职手续，否则可能构成违法解除劳动合同，需承担相应赔偿责任。

2. 若与中介公司签订的是劳动合同，且原劳动关系已合法解除
   若您已与原用人单位依法解除劳动关系（如已办理离职手续、结清工资、社保转移等），则无需再向原用人单位提交离职申请。此时，您与中介公司建立新的劳动关系，应专注于履行与中介公司的合同义务。但需注意，若原劳动关系未合法解除即与中介公司签约，可能面临原用人单位追究违约责任的风险。

3. 若与中介公司签订的是劳务合同（非劳动关系）
   若您与中介公司签订的是劳务合同，双方形成的是劳务关系而非劳动关系，则您与原用人单位的劳动关系状态不受影响。此时：

   • 若原劳动关系仍存续，需向原用人单位提交离职申请；
     
   • 若原劳动关系已解除，则无需提交。
     但需注意，劳务合同下您的权益保障（如工伤、社保等）可能弱于劳动合同，建议谨慎评估合同性质。

行动建议：

1. 核查您与中介公司签订的合同类型（劳动合同/劳务派遣合同/劳务合同），明确合同性质；
   
2. 确认您与原用人单位的劳动关系状态（是否已解除、解除程序是否合法）；
   
3. 根据上述分情况结论，决定是否需向原用人单位提交离职申请；
   
4. 若对合同性质或劳动关系状态存疑，建议携带合同文本及离职相关材料，向我进一步咨询以规避法律风险。