私人培训机构辞退员工且不交保险的行为是违法的，具体分析如下：

1. 关于辞退员工的合法性
   根据《劳动合同法》第三十九条至第四十六条，用人单位辞退员工需符合法定情形（如严重违纪、不能胜任工作等），且需履行法定程序（如提前通知、支付经济补偿等）。若私人培训机构无正当理由辞退员工，或未履行法定程序，则构成违法解除劳动合同，员工有权要求继续履行合同或主张赔偿金（按工作年限，每满一年支付两个月工资）。

2. 关于不交保险的违法性
   根据《社会保险法》第五十八条、第六十条，用人单位必须自用工之日起30日内为员工办理社保登记，并按时足额缴纳社会保险费（包括养老保险、医疗保险、失业保险等）。不交保险属于违法行为，员工可向当地社保部门投诉，要求用人单位补缴；若因此导致员工无法享受社保待遇（如医疗报销、失业金等），用人单位还需承担赔偿责任。

3. 员工维权途径

   • 协商：与培训机构沟通，要求补缴社保、支付违法解除的赔偿金。
     
   • 投诉：向劳动监察大队举报（针对不交社保、违法辞退），或向社保部门投诉要求补缴社保。
     
   • 仲裁/诉讼：申请劳动仲裁，主张违法解除赔偿金、未缴社保的损失等；对仲裁结果不服的，可向法院起诉。

建议：若您遇到此类情况，建议保留劳动合同、工资记录、辞退通知等证据，及时通过法律途径维权。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程。