在公立中学中，当老师提出解除合同后，解聘通知书的发放通常遵循一定的流程和规定。针对您提出的问题，以下是一个清晰、详细且有深度的解答：

首先，我们需要明确的是，公立中学作为事业单位，其人事管理通常受到相关法律法规和政策的严格规范。在老师提出解除合同的情况下，学校需要按照既定的程序来处理这一事务。

1. 学校内部处理：

   • 老师提出解除合同的申请后，学校会首先进行内部审核和处理。这包括确认老师的解除合同意愿、了解解除原因、评估对学校教学秩序的影响等。
   • 学校会根据相关法律法规和政策，以及学校的规章制度，来决定是否同意老师的解除合同申请。

2. 上报主管部门审批：

   • 如果学校同意老师的解除合同申请，那么学校通常需要将这一决定上报给其主管部门（如教育局）进行审批。
   • 主管部门会对学校的决定进行审查，确保其符合相关法律法规和政策的要求。

3. 解聘通知书的发放：

   • 在主管部门审批通过后，学校会正式发放解聘通知书给老师。这一通知书会明确解除合同的时间、原因、后续手续等相关事项。
   • 解聘通知书通常由学校的人事部门或相关负责人签发，并加盖学校公章，以确保其法律效力。

以您提供的参考信息为例，三明市沙县区教育局在收到沙县区城南初级中学关于解除刘雨薇同志聘用合同的处理意见后，进行了研究并同意了学校的决定。随后，学校（或教育局可能以批复的形式通知学校）会正式发放解聘通知书给刘雨薇同志。

综上所述，公立中学老师解除合同后，解聘通知书通常由学校发放，但这一过程需要经过学校内部处理和主管部门审批两个环节。因此，在具体操作中，老师需要耐心等待学校的处理结果，并按照学校的指示完成后续手续。