您好，非常理解您现在因为发现去世的父亲遗失了定期存款单而感到困扰。针对这种情况，我可以为您详细解答一下后续的处理流程。

首先，根据中国银保监会发布的相关通知，已故存款人的配偶、父母、子女是有权查询已故存款人存款情况的。您需要准备以下材料：

1. 已故存款人的死亡证明：这是证明您父亲已经去世的重要文件，通常由医院或公安机关出具。

2. 可表明亲属关系的文件：如居民户口簿、结婚证、出生证明等，这些文件能够证明您与已故存款人的亲属关系，是查询存款的必要条件。

3. 您本人的有效身份证件：这是为了确认您的身份，确保查询行为的合法性。

准备好这些材料后，您可以单独或共同（如果有其他符合条件的亲属）向存款所在的银行业金融机构提交书面申请，办理存款查询业务。查询范围包括存款余额以及银行业金融机构自身发行或管理的非存款类金融资产的余额。

在查询到您父亲的存款情况后，如果存款金额不大，且符合当地银保监会关于小额存款免公证提取的规定（具体规定可能因地区而异，建议您咨询当地银行或银保监会），您可能可以直接提取存款。

如果存款金额较大，或者不符合免公证提取的条件，那么您需要办理继承权公证。在办理继承权公证时，您需要提供上述查询到的存款信息，以及可能涉及的其他遗产信息。公证处会根据您提供的材料，以及相关法律法规，出具继承权证明文书。

然而，在您的情况下，如果存在其他第一顺位继承人（如您离家出走的母亲，如果她仍然在世且未放弃继承权），且无法确认其情况，公证处可能无法直接出具您享有唯一法定继承权的证明文书。这时，您可能需要通过法律途径（如起诉至法院）来解决继承权的问题。

特殊情况处理建议：

• 如果您无法联系到其他继承人，或者继承人情况不明，您可以尝试通过公安机关、社区或村委会等渠道寻找线索。
• 如果确实无法找到其他继承人，或者继承人放弃继承权，您可以向法院申请宣告其他继承人失踪或死亡（如果符合条件），或者提供其他证据证明您是唯一合法继承人。
• 在整个过程中，建议您保持与银行的沟通，及时了解查询和提取存款的进展情况。

最后，我希望您能够顺利处理完父亲的遗产事宜。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，都可以随时向我咨询。我会尽我所能为您提供帮助和支持。