结论：饭店与员工未签合同，员工工作八天后离职，饭店可能面临支付双倍工资差额、经济补偿金等法律责任，同时员工也有权要求饭店支付其工作期间的工资。以下是对此问题的详细分析：
一、未签劳动合同的法律责任
双倍工资差额：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。虽然员工仅工作了八天，未满一个月，但此条款体现了法律对未签劳动合同行为的严厉打击态度。不过，在具体实践中，对于未满一个月的情况，是否直接适用双倍工资差额的规定可能存在争议，但饭店仍应意识到未签劳动合同的风险。
- 建议：饭店应尽快与员工补签劳动合同，以避免未来可能产生的法律纠纷和额外经济支出。
经济补偿金（若构成违法解除）：
- 如果饭店在员工离职时存在违法行为（如未支付工资、未提供劳动条件等），员工有权要求饭店支付经济补偿金。虽然在此案例中员工是主动离职，但如果饭店存在过错，仍可能面临支付经济补偿金的风险。不过，就本案例而言，员工工作八天后主动离职，且未提及饭店存在过错，因此经济补偿金的可能性较小，但饭店仍需注意规范用工行为。
二、员工工作期间的工资支付
工资支付义务：
- 无论是否签订劳动合同，饭店都有义务支付员工工作期间的工资。这是基于《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》的基本规定，即劳动者提供劳动后，用人单位应当支付相应的劳动报酬。
- 计算公式：若员工日工资为X元，则工作八天的工资为\(8X\)元。饭店应按照实际工作天数和约定的日工资标准（或法定标准）支付工资。
工资支付方式：
- 饭店应与员工协商确定工资支付方式（如现金、银行转账等），并在员工离职时一次性结清工资。如果饭店未按时支付工资，员工有权向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
三、饭店的应对措施
补签劳动合同：
- 饭店应尽快与员工补签劳动合同，明确双方的权利和义务，以避免未来可能产生的法律纠纷。
支付工资：
- 饭店应按照实际工作天数和约定的工资标准支付员工工作期间的工资，确保员工的合法权益得到保障。
规范用工管理：
- 饭店应加强用工管理，确保所有员工都签订劳动合同，并遵守相关法律法规的规定，以维护良好的用工关系和饭店的声誉。
进一步思考：饭店在用工过程中应严格遵守相关法律法规的规定，确保与员工签订劳动合同、按时支付工资、提供必要的劳动条件等。如果饭店在用工过程中存在违法行为或不当行为，不仅可能面临法律纠纷和经济损失，还可能影响饭店的声誉和长期发展。因此，饭店应加强用工管理，规范用工行为，以维护良好的用工关系和饭店的稳定发展。
最后，如果饭店在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议和指导。