结论：医院的合同制员工熬到10年没签第二次五年制劳动合同，并不直接等同于转为无固定期限劳动合同，但根据《劳动合同法》的相关规定，员工在满足一定条件下有权要求签订无固定期限劳动合同。
分析：
无固定期限劳动合同的签订条件：
- 根据《劳动合同法》第十四条的规定，无固定期限劳动合同的签订主要有三种情形：一是劳动者在该用人单位连续工作满十年的；二是用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；三是连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
- 在您的情况下，如果员工已经在医院连续工作满十年，且没有出现《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等，以及劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的），那么员工有权要求签订无固定期限劳动合同。
未签第二次五年制劳动合同的影响：
- 如果员工与医院已经签订过一次五年制劳动合同，且合同到期后未续签第二次五年制劳动合同，但员工仍在医院工作，这并不意味着员工自动转为无固定期限劳动合同关系。然而，如果员工已经连续工作满十年，并且满足上述无固定期限劳动合同的签订条件，员工可以主张与医院签订无固定期限劳动合同。
实际操作建议：
- 与医院协商：员工可以首先与医院进行协商，表达自己希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并说明自己满足签订无固定期限劳动合同的条件。
- 收集证据：员工应收集相关证据，如工作证明、工资单、劳动合同等，以证明自己已经在医院连续工作满十年，并且满足签订无固定期限劳动合同的其他条件。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，员工可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求医院签订无固定期限劳动合同或支付相应的经济补偿。
法律后果：
- 如果员工满足签订无固定期限劳动合同的条件，而医院拒绝签订，员工有权要求医院支付经济补偿或继续履行劳动合同（即签订无固定期限劳动合同）。
- 如果员工不满足签订无固定期限劳动合同的条件，或者员工未能在规定时间内提出签订无固定期限劳动合同的要求，那么员工可能无法直接转为无固定期限劳动合同关系。
进一步思考：
- 员工在主张自己的权益时，应确保自己满足签订无固定期限劳动合同的所有条件，并准备好相关证据。
- 医院在面对员工的诉求时，应认真审查员工的条件，并依法与员工签订劳动合同或支付经济补偿。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。