结论：工龄35年且年满55岁的老师患有精神分裂症，一般情况下不会被辞退，但具体还需根据病情严重程度、是否影响工作以及单位的相关规定等因素综合判断。
分析说明：
医疗期保护：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。对于工龄35年的员工，其医疗期通常较长，这意味着在医疗期内，单位不得随意辞退员工。
病情严重程度与工作影响：
- 如果精神分裂症病情严重，确实影响到老师的教学工作，且经过医疗期治疗后仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，单位在符合法定程序的情况下，可以解除劳动合同。但这一过程需要严格遵循法律规定，包括提前通知、支付经济补偿等。
- 如果病情并不严重，或者经过治疗后能够恢复工作能力，那么单位通常不会辞退员工，而是会给予一定的康复期和支持。
单位规定与人文关怀：
- 除了法律规定外，单位内部的规定和人文关怀也会影响辞退决定。一些单位可能出于对员工的关怀和尊重，会选择保留员工的工作岗位，或者提供其他形式的支持，如调整工作岗位、减轻工作负担等。
特殊场景：
- 如果老师的精神分裂症是由于工作原因导致的（如工作压力过大、工作环境恶劣等），那么这可能构成工伤。在这种情况下，单位不仅不能辞退员工，还需要承担相应的工伤赔偿责任，包括医疗费用、伤残津贴等。
建议与行动：
- 及时就医与诊断：老师应尽快就医，获取专业的医疗诊断和治疗建议。这有助于明确病情严重程度和康复可能性，为后续的维权行动提供依据。
- 与单位沟通：老师应与单位进行坦诚的沟通，说明自己的病情和康复计划。同时，了解单位的相关规定和态度，以便更好地维护自己的权益。
- 寻求法律援助：如果单位存在违法辞退等行为，老师可以寻求法律援助或咨询专业律师（如我），了解自己的法律权益和维权途径。
后续思考依据：
- 在处理此类案件时，我会综合考虑老师的工龄、年龄、病情严重程度、工作影响以及单位的相关规定等因素，为老师提供全面的法律建议和维权方案。
- 同时，我也会关注相关法律法规的更新和变化，确保为老师提供的法律建议符合最新的法律要求。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。